Google
This is a digital copy of a book that was prcscrvod for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's books discoverablc online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the
publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain lx)oks l>elong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we liave taken steps to
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automatcd querying.
We also ask that you:
+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for
person al, non-commercial purposes.
+ Refrainfivm automated querying Do nol send aulomated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine
translation, Optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for these purposes and may t« able to help.
+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each file is essential for informingpeopleabout this project and helping them find
additional materials tlirough Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any specific use of
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite seveie.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps rcaders
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of ihis book on the web
at |http : //books . google . com/|
Google
Dette er en digital kopi af en bog, der har været bevaret i generationer på bibliotekshylder, før den omhyggeligt er scannet af Google
som del af et projekt, der går ud på at gøre verdens bøger tilgængelige online.
Den har overlevet længe nok til, at ophavsretten er udløbet, og til at bogen er blevet offentlig ejendom. En offentligt ejet bog er en bog,
der aldrig har været underlagt copyright, eller hvor de juridiske copyright vilkår er udløbet. Om en bog er offentlig ejendom varierer fra
land til land. Bøger, der er offentlig ejendom, er vores indblik i fortiden og repræsenterer en rigdom af historie, kultur og viden, der
ofte er vanskelig at opdage.
Mærker, kommentarer og andre marginalnoter, der er vises i det oprindelige bind, vises i denne fil - en påmindelse om denne bogs lange
rejse fra udgiver til et bibliotek og endelig til dig.
Retningslinjer for anvendelse
Google er stolte over at indgå partnerskaber med biblioteker om at digitalisere offentligt ejede materialer og gøre dem bredt tilgængelige.
Offentligt ejede bøger tilhører alle og vi er blot deres vogtere. Selvom dette arbejde er kostbart, så har vi taget skridt i retning af at
forhindre misbrug fra kommerciel side, herunder placering af tekniske begrænsninger på automatiserede forespørgsler for fortsat at
kunne tilvejebringe denne kilde.
Vi beder dig også om følgende:
• Anvend kun disse filer til ikkc-konnnerdolt brug
Vi designede Google Bogsøgning til enkeltpersoner, og vi beder dig om at bruge disse filer til personlige, ikke-kommercielle formål.
• Undlad at bruge automatiserede forespørgsler
Undlad at sende automatiserede søgninger af nogen som helst art til Googles system. Hvis du foretager undersøgelse af m;iskl-
noversættelse, optisk tegngenkendelse eller andre områder, hvor adgangen til store mængder tekst er nyttig, bør du kontakte os.
Vi opmuntrer til anvendelse af offentligt ejede materialer til disse formål, og kan måske hjælpe.
• Bevar tilegnelse
Det Google- "vandmærke" du ser på hver fil er en vigtig måde at fortælle mennesker om dette projekt og hjælpe dem med at finde
yderligere materialer ved brug af Google Bogsøgning. Lad være med at fjerne det.
• Overhold reglerne
Uanset hvad du bruger, skal du huske, at du er ansvarlig for at sikre, at dot du gør er lovligt. Antag ikke, at bare fordi vi tror,
at en bog er offentlig ejendom for brugere i USA, at værket også er offentlig ejendom for brugere i andre lande. Om en bog
stadig er underlagt copyright varierer fra land til land, og vi kan ikke tilbyde vejledning i, om en bestemt anvendelse af en bog er
tilladt. Antag ikke at en bogs tilstedeværelse i Google Bogsøgning betyder, at den kan bruges på enhver måde overalt i verden.
Erstatningspligten for krænkelse af copyright kan være ganske alvorlig.
Om Google Bogsøgning
Det er Googles mission at organisere alverdens oplysninger for at gøre dem almindeligt tilgængelige og nyttige. Google Bogsøgning
hja^lper læsere med at opdage alverdens bøger, samtidi g med at det hjælper forfatter e og udgivere med at nå nye målgrupper. Du kan
søge gcnnom hele teksten i denne bog på interncttct på |http : //hooks . google ■ com|
^^^o
EUKLIDS ELEMENTER
I-II
OVERSAT AF
THYRA EIBE
CAND. MAG.
Med en Indledning af Prof., Dr. H. G. Zeuthen
KØBENHAVN
GYLDENDALSKE BOGHANDELS FORLAG (F. HEGEL & SØN)
Trykt hos J. Jørgensen & Co. (M. A. Hannover \
t p '
W Y •" f^ K
LIS. ...,,
5 16
ENOX AND
UNDATIONS.
900. L
» * • to *
«, • •
k « •
* >
FORORD.
c/
^
o
o
6>
Ved denne Oversættelse af Euklids to første
Bøger har jeg nøje fulgt den nyeste græske Ud-
^ gave (ved Heiberg 1883); kun har jeg indført
Plustegn, Lighedstegn og Tegn for Vinkel, Tre-
kant, Parallelogram, Rektangel og Kvadrat. Dette
strider dog ikke mod den græske Form, da
Euklid ogsaa bruger Forkortelser. Saaledes
hedder f. Eks. Vinkelen ABC paa Græsk 7)vnb
ABF (udeladt ^^wWo). Desuden har jeg ligesom
Professor Heiberg i den latinske Oversættelse i
anden Bog tilføjet de til de geometriske Sæt-
V) ninger svarende algebraiske Formler.
>
/
IV
Til Slut vil jeg takke Professorerne H. G.
Zeuthen og J. L. Heiberg samt Docent A. B.
Drachmann for den gode Hjælp, jeg har faaet
af dem under Arbejdet.
Kjøbenhavn, d. 15de Maj 1897.
Thyra Eibe.
INDLEDNING.
Mathematikeren Euklid levede og virkede
omtrent 300 Aar før Chr. i Alexandria, som den
Gang var Midtpunktet for Grækernes aandelige
Liv, og hvor lærelystne Ynglinge samledes fra
de mange Egne, hvor det græske Folk havde
nedsat sig. Han har givet yderst værdifulde
Bidrag til sit Fags videre Udvikling ; men frem-
for alt mindes han som den, der har samlet
sin Tids elementære Mathematik til en sammen-
hængende Lærebygning. Det er denne, som inde-
holdes i hans af 13 Bøger bestaaende Værk:
Euklids Elementer,
Ved sine omfattende Synsmaader og ved
den Fuldstændighed og store Nøjagtighed, hvor-
med disse vare gennemførte, fortrængte Euklids
sikre Tankebygning snart alle Arbejder i lig-
VI
nende Retning af Forgængere, som sikkert i
mange Henseender have forberedt Stoffet for
Euklid, men paa hvem man nu kun kj ender nogle
Navne. Saalænge Mathematiken vedblev at
blomstre hos Grækerne, var det Euklids Ele-
menter, som lagdes til Grund, og fra hvilke alle
videregaaende Undersøgelser toge deres Udgangs-
punkt. Dette Værk har spillet samme Rolle
paa de Steder, hvortil den græske Mathematik
senere har forplantet sig, hos Araberne i Middel-
alderen og hos den nyere Tids Europæere.
Endnu i de Aarhundreder, som gaa nærmest
forud for vort, søgte de største Mathematikere,
f. Eks. Newton, tilbage til Euklid for at finde
en fast Grundvold for Arbejder, der række langt
ud over de Omraader, som Grækerne betraadte.
Netop .derved opnaaede man selv at blive for-
staaet, thi Euklid var alles fælles Læremester.
Ja der er endnu Lande, hvor man den Dag i
Dag bruger hans Elementer som Lærebog.
Kan der end indvendes adskilligt mod dette
sidste — og jeg kunde levere mit Bidrag til disse
Indvendinger — saa fortjene Euklids Elementer
dog at kendes af enhver, som interesserer sig
for Mathematik. I dem se vi, hvilken Skikkelse
dette Fag havde hos det Folk, der først gjorde
VII
det til en Videnskab. Hans Behandling giver
os Nøglen til den rette Forstaaelse af de Ar-
bejder, som i de efterfølgende 2000 Aar have
haft hans Elementer til Grundlag. Meget saavel
af den almindelige Opfattelse som af Enkelt-
heder er ogsaa gaaet over i Nutidens Lærebøger.
Det er af Betydning hos Euklid at se dette i dets
oprindelige Sammenhæng, som kan forklare
meget, som ellers vilde synes tilfældigt. Særlig
dette Hensyn vil gøre Kendskab til Euklid frugt-
bringende for Lærere.
Af alle disse Grunde kræver vort Universitet
ved sin Skoleembedseksamen Kendskab tilEuk-
lids Elementer. I Overensstemmelse herme^d
har jeg i min udgivne »Forelæsning over Mathe-
mathikens Historie. (Oldtid og Middelalder)«
lagt en særlig stor Vægt paa at forklare dette
Skrift, dets Synsmaader og Fremstillingsform og
disses Sammenhæng med den hele mathematiske
Udvikling, og jeg har paa mange Steder henvist
til Enkeltheder, som maa ses efter hos Euklid
selv. Derfor maa jeg ønske hans Værk i Hæn-
derne ej blot paa de mathematiske Studerende,
men paa alle dem, som læse min Bog. At mange
med Udbytte ville læse Euklid, er iøvrigt ikke
tvivlsomt i vort Land, hvor der ikke blot er en
vin
ret udbredt Interesse for Mathematiken, men
hvor man tillige i store Kredse med Held har
forsøgt at give den indledende Undervisning i
dette Fag en historisk Form.
Trods de mange Tilsætninger og Smaaæn-
dringer, svarende til de vekslende Tiders Krav,
for hvilke en saa anvendt Bog har været udsat
allerede i Oldtiden, kjendes »Elementernes« op-
rindelige Tekst ret godt. I den paalideligste
Skikkelse fremtræder den i vor Landsmand,
Prof J. L. Heibergs nye Udgave, i hvilken de
sagkyndige i alle Lande med Tillid søge deres
Oplysninger, og som ved sin skarpe Skelnen
mellem ægte og uægte har ydet væsentlige Bi-
drag til at retlede Forstaaelsen af Mathematiken
paa Euklids Tid. Deh græske Tekst er vel i
denne Udgave ledsaget af en latinsk Oversæt-
telse; men selv paa dette Sprog er den util-
gængelig for mange af dem, der vilde have
størst Udbytte af Indholdet. Dette Indhold er
godt og betydeligt nok til at læses i vort Mo-
dersmaal ogsaa af dem blandt os, der forstaa
Latin og til Nød kunne arbejde sig gennem lidt
Græsk.
Det er derfor en god Tanke af Frøken
Eibe at have begyndt en dansk Oversættelse af
IX
Euklids Elementer efter Heibergs Udgave. Den
nu foreliggende Del af hendes Oversættelse til-
fredsstiller alle Fordringer til Nøjagtighed og
er udført med den bedst mulige filologiske
Bistand.
Mærkelig nok har det endog været muligt
at gengive en enkelt, hyppig tilbagekommende
og derfor betydningsfuld Vending rigtigere paa
Dansk, end det kan ske paa Latin. Man vil
nemlig se, at selv i de saakaldte Problemer,
hvor en eller anden Figur ønskes konstrueret
(som i I, 2, 3, 9, lo o. s. v. i isteBog), Kon-
struktionen kun angives med følgende Udtryk:
Lad den og den Linie være tegnet, det og det
Punkt være taget. Dette stemmer med den
græske Sprogform, medens Latinen kun har
kunnet gengive dem, som om der stod: »Lad
Linien bliv^ tegnet. Punktet blive taget,« eller
simplere: »Man tegne, tage« eller: »Tegn, tag«
altsaa som Forskrifter. Idet nu Euklid i den
nyere Tid først er udbredt i latinske Oversæt-
telser, er man i Almindelighed kommen til i
hans Problem at se det samme som i de nu-
værende Konstruktionsopgaver. Om end denne
Opfattelse ikke er helt urigtig, overses dog derved
et Hovedformaal for de Gamles Problemer, nemlig
X
det at tjene til Bevis for, at visse Figurer ere
mulige i Almindelighed, eller for at de udtrykke-
lig angivne Betingelser for deres Mulighed ere
tilstrækkelige. At Problemerne netop have
denne Betydning i den græske Mathematik har
jeg tidligere andensteds paavist, men det er
Frøken Eibes danske Oversættelse, som alle-
rede før den blev trykt, har baaret den Frugt
at gøre mig opmærksom paa, at Euklids
egen Udtryksmaade stemmer med min Opfat-
telse, idet Euklid ikke fremsætter sine Kon-
struktioner i Regler, hvorefter noget skal ud-
føres, men mere som noget, der udføres for at
faa noget at vide. Samme Udtryksmaade bruges
i de Konstruktioner, som anvendes i Beviserne
for de egentlige Læresætninger; men ved dem
har den mangelfulde latinske Gengivelse ikke
kunnet hidføre nogen Misforstaaelse.
Det er endnu kun de 2 første Bøger af
Elementerne, som udkomme paa Dansk. I den
første vil man, skønt Euklids Udtryksmaade i
Indledningen er langt mindre fuldstændig end
i hans Sætninger og Beviser, genkende de samme
geometriske Begreber, som vi nu behandle, og
i selve Bogen vil man beundre den Sikkerhed
hvormed hver Sten i Bygningen føjes ind, før
XI
der skal bygges videre paa den. I anden Bog
faar man en Porestilling om den geometriske
Form, som Grækerne gav saadanne Undersø-
gelser, som vi nu henregne til Algebra, og i
hvilke de naaede op til Ligninger af anden
Grad. Jeg haaber, at disse to Bøger skulle
slaa saa godt an, at hverken Oversætterinden
eller Gyldendalske Boghandel vil betænke sig
paa at gaa videre. Først da vil Oversættelsen
faa hele den Betydning, som jeg her har til-
lagt den.
Kjøbenhavn, den 15de Maj 1897.
H, G, Zeuthen.
I.
Definitioner.
1. Et Punkt er det, som ikke kan deles.
2. En Linie er en Længde uden Bredde.
3. En Linies Grænser ere Punkter.
4. En ret Linie er en Linie, som ligger
lige mellem Punkterne paa den.
5. En Flade er det, som kun har Længde
og Bredde.
6. En Flades Grænser ere Linier.
7. En plan Flade er en Flade, som ligger
lige mellem de rette Linier i den.
8. En plan Vinkel er Heldningen mellem
to Linier, som ligge i samme Plan, have et Punkt
fælles og ikke ligge paa ret Linie.
9. Naar de Linier, der indeslutte Vinkelen
ere rette, kaldes Vinkelen retlinet.
10. Naar en ret Linie er oprejst paa en
anden, saa at de ved Siden af hinanden lig-
gende Vinkler blive ligestore, er enhver af de
ligestore Vinkler ret; og den Linie, der er op-
rejst paa den anden, kaldes lodret paa den
anden.
11. En stump Vinkel er en, som er større '
end en ret.
12. En spidsvinkel er en, som er mindre
end en ret.
13. Omkreds er Grænsen for noget.
14. En Figur er det, som indesluttes af
en eller flere Omkredse.
15. En Cirkel er en plan Figur, indesluttet
af een saadan Linie (som kaldes Periferien), at
alle de rette Linier, der kunne drages ud til
den fra eet indenfor Figuren liggende Punkt, ere
indbyrdes ligestore.
16. Dette Punkt kaldes Centrum i Cir-
kelen.
17. En Diameter i Cirkelen er en ret Linie,
trukken gennem Centrum og begrænset til begge
Sider af Cirkelperiferien; den halverer ogsaa
Cirkelen.
18. En Halvcirkel er en Figur, som inde-
sluttes af en Diameter og den af Diameteren
V
afskaame Periferi. Halvcirkelens Centrum er det
samme som Cirkelens.
19. Retlinede Figurer ere saadanne, som
indesluttes af rette Linier : tresidede, som inde-
sluttes af tre, firsidede af fire, flersidede af flere
end fire rette Linier.
20. Af tresidede Figurer kaldes den, der
har alle tre Sider ligestore, en ligesidet, den
som kun har to Sider ligestore, en ligebenet,
og den, som har alle tre Sider uligestore, en
skæv Trekant.
21. Af tresidede Figurer kaldes endvidere
den, som har en ret Vinkel, en retvinklet, den, som
har en stump Vinkel, en stumpvinklet, den, som
har alle tre Vinkler spidse, en spidsvinklet Trekant.
22. Af firsidede Figurer kaldes den, som
baade er ligesidet og retvinklet, et Kvadrat, den
som er retvinklet, men ikke ligesidet, et Rekt-
angel, den som er ligesidet, men ikke retvinklet,
en Rhombe, den som har baade modstaaende
Sider og Vinkler ligestore, men hverken er lige-
sidet eller retvinklet, en Rhomboide; de øvrige
Firsider kunne kaldes Trapezer.
23. Parallele ere de rette Linier, som ligge
i samme Plan og, naar de forlænges ubegrænset
til begge Sider, ikke mødes til nogen af Siderne.
Forudsætninger,
Lad det være forudsat:
1. At man kan trække en ret Linie fra
et hvilketsomhelst Punkt til et hvilketsomhelst
Punkt.
2. At man kan forlænge en begrænset ret
Linie i ret Linie ud i eet.
3. At man kan tegne en Cirkel med et
hvilketsomhelst Centrum og en hvilkensomhelst
Radius.
4. At alle rette Vinkler ere ligestore.
5. At, naar en ret Liiiie skærer to rette
Linier, og de indvendige Vinkler paa samme
Side ere mindre end to rette, saa mødes de to
Linier, naar de forlænges ubegrænset, paa den
Side, hvor de to Vinkler ligge, der ere mindre
end to rette.
Almindelige Begreber,
1. Størrelser, som ere ligestore med den
samme, ere indbyrdes ligestore.
2. Naar ligestore Størrelser lægges til lige-
store Størrelser, ere Summerne ligestore.
s
3. Naar ligestore Størrelser trækkes fra
ligestore Størrelser, ere Resterne ligestore.
4. Størrelser, der kunne dække hverandre,
ere indbyrdes ligestore.
5. Det hele er større end en Del af det.
I.
At konstruere en ligesidet Trekant paa en
given begrænset ret Linie,
Lad AB være den givne begrænsede rette
Linie. Man skal da konstruere en ligesidet Tre-
kant paa den rette Linie AB.
Lad Cirkel BCD være tegnet med A som
Centrum og AB som Radius og tillige Cirkel
ACE med B som Centrum og BA som Radius, og
lad de rette Linier CA og CB være dragne fra
Cirklernes Skæringspunkt C til Punkterne A og B.
•
^
Da nu Punkt A er Centrum i Cirkel CDB,
er AC = AB. Da endvidere Punkt B er Cen-
trum i Cirkel CAE, er BC = BA. Men det
blev ogsaa bevist, at CA er lig AB. Altsaa er
baade CA og CB lig AB. Men Størrelser, der
ere ligestore med den samme Størrelse, ere ind-
byrdes ligestore. Altsaa er CA = CB. Altsaa
ere de tre rette Linier CA, AB og BC indbyrdes
Mgestore.
Altsaa er l\ ABC ligesidet, ogdenerkon-
Irueret paa den givne begrænsede rette Linie
3; hvilket skulde gøres.
2.
TJd fra et givet Punkt at afsætte en ret
Linie lig en given ret Linie,
Lad A være det givne Punkt og BC den
givne rette Linie. Man skal da ud fra det givne
Punkt A afsætte en ret Linie lig den givne rette
Linie BC.
Lad nemlig en ret Linie AB være dragen
fra Punkt A til Punkt B, lad der paa den være
konstrueret en ligesidet Trekant DAB, lad de
rette Linier AE og BF være afsatte i Forlæn-
gelse af DA og DB, lad Cirkel CGH være tegnet
med B som Centrum og BC som Radius, og
lad Cirkel GIK være tegnet med D som Centrum
og DG som Radius.
Da nu Punkt B er Centrum i Cirkel CGH,
er BC = BG. Da endvidere Punkt D er Cen-
trum i Cirkel GIK, er
DK = DG; ogpaadem
ere Stykkerne DA og
DB ligestore; altsaaer
Resten AK lig Resten
BG. Men det blev
ogsaa bevist, at BC
er lig BG. Altsaa er
baade AK og BC lig
BG. Men Størrelser,
som ere ligestore med
den samme Størrelse, ere indbyrdes ligestore.
Altsaa er AK = BC.
Altsaa er der ud fra det givne Punkt A af-
sat en ret Linie AK lig den givne rette Linie
BC; h. s. g.
3.
Paa den største af to givne uligestore rette
Linier at afskære en ret Linie lig den mindste.
Lad AB og C være de to givne uligestore
rette Linier, og lad ^AB være den største af
8
dem. Man skal da paa den største AB afskære
en ret Linie lig den mindste C.
Lad AD være afsat ud fra Punkt A lig
den givne rette Linie C, og lad Cirkel DEF
være tegnet med
A som Centrum og
AD som Radius.
Da nu Punkt A
er Centrum i Cirkel
DEF,erAE = AD.
Men C er ogsaa
lig AD. Altsaaer
baade AE og Clig AD. Altsaa er AE = C.
Altsaa er der paa den største AB af to
givne uligestore rette Linier AB og C afskaaret
AE lig den mindste C; h. s. g.
4.
Naar to Trekanter have to Sider parvis
ligestore og de Vinkler, der indesluttes af de
ligestore rette Linier , ligestore, saa ville de ogsaa
have Grundlinierne ligestore, og Trekanterne
ville være ligestore^ og de øvrige Vinkler, over-
for hvilke de ligestore Sider ligge, ville være
parvis ligestore.
Lad ABC og DEF være to Trekanter, hvor
de to Sider AB og AC parvis ere lig de to
Sider DE og DF, nemlig AB = DE og AC =
DF, og hvor Z. BAC er lig Z. EDF. Jeg siger
da: at Grundlinie BC vil være lig Grundlinie
EF, at A ABC vil være Hg {\ DEF, og at de
øvrige Vinkler, overfor hvilke de ligestore Sider
ligge, ville være parvis
ligestore, ZL ABC =
ZL DEF og ZL ACB =
^ DFE.
Naar nemlig /\ ABC
lægges paa/\DEF, idet
Punkt A anbringes i
Punkt D og den rette
Linie AB paa den rette
Linie DE, saa vil Punkt
B træffe i E, fordi AB er lig DE. Men naar
AB dækker DE, saa vil den rette Linie AC
falde paa den rette Linie DF, fordi zl BAC er lig
^ EDF. Følgelig vil her Punkt C træffe i Punkt
F, fordi AC er lig DF. Men B traf jo i E ; følgelig
vil Grundlinie BC dække Grundlinie EF. Thi
hvis Grundlinie BC ikke dækker EF, naar B
træffer i E og C i F, saa ville to rette Linier
lO
indeslutte et Rum; og det er umuligt. Altsaa
vil Grundlinie BC dække EF og være lig med
den. Følgelig vil hele /\ABC dække hele
/\DEF og være lig med den; og de øvrige
Vinkler ville dække de øvrige Vinkler og være
lig med dem, ^ ABC = Z. DEF og Zl ACB
Altsaa: naar to Trekanter have to Sider
parvis ligestore og de Vinkler, der indesluttes
af de ligestore rette Linier, ligestore, saa ville
de ogsaa have Grundlinierne ligestore, og Tre-
kanterne ville være ligestore, og de øvrige
Vinkler, overfor hvilke de ligestore Sider ligge,
ville være parvis ligestore ; hvilket skulde bevises.
S-
/ en ligebenet Trekant ere Vinklerne ved
Grundlinien ligestore; og^ naar de ligestore rette
Linier ere forlængede, ville Vinklerne under
Grundlinien være ligestore.
Lad ABC være en ligebenet Trekant, hvor
Side AB er lig Side AC, og lad de rette Linier
BD og CE være afsatte i Forlængelse af AB
og AC. Jeg siger da: Z^ABC = zlACB, og
^CBD = zlBCE.
II
Lad der nemlig paa BD være taget et vilkaar-
ligt Punkt F, lad der paa den største AE, være
afskaaret AG = AF, og lad de rette Linier FC
og GB være dragne.
Da nu AF er lig AG og AB er lig AC,
saa ere de to Sider FA og AC parvis lig de
to Sider GA og AB;
og de indeslutte den
fælles Vinkel FAG;
altsaa vil Grundlinie
FC være lig Grundlinie
GB; AAFC vil være
lig/\AGB; og de øv-
rige Vinkler, overfor
hvilke de ligestore Si-
der ligge, ville være
parvis ligestore, nem-
Ug^ACF = ^ABG
og^AFC = z:AGB.
Og da hele AF er lig hele AG og paa dem
igen AB er lig AC, saa er Resten BF lig Resten
CG. Men det blev ogsaa bevist, at FC er lig
GB. Altsaa ere de to Sider BF og FC parvis
lig de to Sider CG og GB ; desuden er zl BFC
lig zlCGB; og deres Grundlinie BC er fælles;
altsaa vil /\ BFC være lig /\ CGB, og de øvrige
12
Vinkler, overfor hvilke de ligestore Sider ligge,
ville være parvis ligestore. Altsaa er ^FBC
= Z. GCB, og Z. BCF = Z CBG. Da det nu
blev bevist, at hele Z. ABG er lig hele Z ACF,
og af dem igen Z CBG er lig -^BCF, saa er
Resten Z ABC lig Resten Z ACB. Og de
ligge ved ^ABC's Grundlinie. Men det blev
tillige bevist, at Z FBC er lig Z GCB. Og de
ligge under Grundlinien.
Altsaa: i en ligebenet Trekant ere Vink-
lerne ved Grundlinien ligestore ; og naar de lige-
store rette Linier ere forlængede, ville Vinklerne
under Grundlinien være ligestore; h. s. b.
6.
Naar to Vinkler i en Trekant ere ligestore,
ville ogsaa de Sider^ der ligge overfor de lige-
store Vinkler^ være ligestore.
Lad ABC være en Trekant, hvor Z ABC
er lig Z ACB. Jeg siger da, at Side AB er lig
Side AC.
Thi hvis AB og AC ere uligestore, er en
af dem størst. Lad AB være størst, lad der
paa den største AB være afskaaret Stykket DB
lig den mindste AC, og lad DC være dragen.
13
Da nu DB er lig AC, ogBC er fælles, saa
ere de to Sider DB og BC parvis lig de to
Sider AC og CB; desuden er
^DBC = ZlACB; altsaa er
Grundlinie DC lig Grundlinie
AB, og ^DBC vil være lig
/\ ACB, en mindre lig en
større; hvilket er umuligt. Alt-
saa er AB og AC ikke ulige-
store. Altsaa er AB = AC.
Altsaa: naar to Vinkler i
en Trekant ere ligestore, ville ogsaa de Sider,
der ligge overfor de ligestore Vinkler, være lige-
store; h. s. b.
7.
Naar der fra en ret Linies Endepunkter
er konstrueret to rette Linier til eet Punkt ^ kan
man ikke fra de samme Endepunkter konstruere
to andre rette Linier^ parvis lig de første, til
et andet Punkt paa samme Side af Linien.
Thi hvis det er muligt, saa lad der fra den
rette Linie AB's Endepunkter være konstrueret
to rette Linier AC og CB til eet Punkt C og
desuden fra de samme Endepunkter to andre
rette Linier AD og DB parvis lig de første
til et andet Punkt D paa samme Side, nemlig
DA = CA fra samme Endepunkt A, og DB
= CB fra samme Endepunkt B, og lad CD
være dragen.
Da nu AC er lig AD, er Z. ACD lig
z: ADC. Altsaa er Z. ADC større end Z DCB.
Altsaa er Z CDB meget større end Z DCB.
Paa den anden Side: da
CB er lig DB, er ^ CDB
= Z DCB. Men det
blev ogsaa bevist, at den
er meget større; og det
er umuligt.
Altsaa: naar der fra
en ret Linies Endepunk-
ter er konstrueret to rette
Linier til eet Punkt, kan man ikke fra de samme
Endepunkter konstruere to andre rette Linier,
parvis lig de første, til et andet Punkt paa samme
Side af Linien ; h. s. b.
8.
Naar to Trekanter have to Sider parvis
ligestore og tillige Grundlinierne ligestore^ saa
ville de ogsaa have de Vinkler ligestore^ som
indesluttes af de ligestore rette Linier.
15
Lad ABC og DEF være to Trekanter, hvor
de to Sider AB og AC parvis ere lig de to
Sider DE og DF, nemlig AB = DE og AC
= DF, og lad dem tillige have Grundlinie BC
lig Grundlinie EF. Jeg siger da: ^BAC =
^EDF.
Thi naar /\ ABC lægges paa ^ DEF, idet
Punkt B anbringes i Punkt E, og den rette
Linie BC lægges paa den rette Linie EF, saa
vil Punkt C træffe i F, fordi BC er lig EF.
Og naar nu BC dækker EF, saa ville BA og
CA ogsaa dække ED og DF. Thi hvis Grund-
linie BC dækker Grundlinie EF, mens Siderne
BA og AC ikke dække ED og DF, men falde
udenfor, f. Ex. i EG og GF, saa vil der fra en
ret Linies Endepunkter være konstrueret to rette
i6
Linier til eet Punkt, og fra de samme Ende-
punkter to andre rette Linier, parvis lig de
første, til et andet Punkt paa samme Side af
Linien. Men det kan man ikke. Altsaa, naar
Grundlinie BC dækker Grundlinie EF, kunne
Siderne BA og AC ikke lade være at dække
ED og DF. Altsaa ville de dække dem. Følge-
lig vil ogsaa ^ BAC dække Z^ EDF og være
lig med den.
Altsaa: naar to Trekanter have to Sider
parvis ligestore og tillige Grundlinierne ligestore,
saa ville de ogsaa have de Vinkler ligestore, som
indesluttes af de ligestore rette Linier; h. s. b.
9.
At halvere en given retlinet Vinkel.
Lad BAC være den
givne retlinede Vinkel. Man
skal da halvere den.
Lad der paa AB være
taget et vilkaarligt Punkt
D, og lad der paa AC være
afskaaret AE = AD, lad
DE være dragen, lad der
paa DE være konstrueret
'c en ligesidet Trekant DEF,
17
og lad AF være dragen. Jeg siger da, at
^ BAC er halveret af den rette Linie AF.
Thi da AD er lig AE, og AF er fælles,
saa ere de to Sider DA og AF parvis lig de
to Sider EA og AF; og Grundlinie DF er lig
Grundlinie EF; altsaa er ^DAF = ^EAF.
Altsaa er den givne retlinede Vinkel BAC
halveret af den rette Linie AF; h. s. g.
10.
At halvere en given begrænset ret Linie,
Lad AB være den givne begrænsede rette
Linie. Man skal da halvere den begrænsede
rette Linie AB.
Lad der paa den være konstrueret en lige-
sidet Trekant ABC, og lad Z- ACB være hal-
veret af den rette Linie CD. Jeg siger da, at den
rette Linie AB er halveret i Punkt D.
Thi da AC er lig CB,
og CD er fælles, saa ere de
to Sider AC og CD parvis
lig de to Sider BC og CD ;
og Z^ ACD er lig Z. BCD ;
altsaa er Grundlinie AD lig
Grundlinie BD.
I
i8
Altsaa er den givne begrænsede rette Linie
AB halveret i D; h. s. g.
II.
Fra et givet Punkt paa en given ret Linie
at oprejse en ret Linie vinkelret paa den givne.
Lad AB være den givne rette Linie og C
det givne Punkt paa den. Man skal da fra
Punkt C oprejse en ret Linie vinkelret paa AB,
Lad der være
taget et vilkaarligt
Punkt D paa AB,
lad CE være afsat
lig CD, lad der paa
DE være konstru-
eret en ligesidet
Trekant FDE, og
lad FC være dragen. Jeg siger da, at fra det
givne Punkt C paa den givne rette Linie AB er
den rette Linie FC oprejst vinkelret paa AB.
Thi da DC er ligCE, og CF er fælles, saa
ere de to Sider DC og CF parvis lig de to
Sider EC og CF; og Grundlinie DF er lig
Grundlinie FE ; altsaa er Zl DCF = Z- ECF.
Og de ligge ved Siden af hinanden. Men naar
en ret Linie er oprejst paa en anden, saa at de
19
ved Siden af hinanden liggende Vinkler blive
ligestore, er enhver af de ligestore Vinkler ret.
Altsaa ere begge Vinklerne DCF og FCE rette.
Altsaa er der fra det givne Punkt C paa
den givne rette Linie AB oprejst den rette Linie
CF vinkelret paa AB; h. s. g.
12.
Fra et Punkt udenfor en given ubegrænset
ret Linie at nedfælde en ret Linie lodret paa
den givne.
Lad AB være den givne ubegrænsede rette
Linie og C det givne Punkt udenfor den. Man
skal da fra det givne Punkt C udenfor den givne
ubegrænsede rette Linie AB nedfælde en ret
Linie lodret paa AB.
Lad der nemlig paa den anden Side af den
rette Linie AB være taget et vilkaarligt Punkt
D, lad Cirkel EFG
være tegnet med C
som Centrum og
CD som Radius,
lad den rette Linie [ c
EG være halveret
i H, og lad de rette ^.
Linier CG, CH og
20
CE være dragne. Jeg siger da, at der fra det
givne Punkt C udenfor den givne ubegrænsede
rette Linie AB er nedfældet den rette Linie CH
lodret paa AB.
Thi da GH er lig HE, og HC er fælles,
saa ere de to Sider GH og HC parvis lig de to
Sider EH og HC ; og Grundlinie CG er lig Grund-
linie CE; altsaa er Z, CHG = /L EHC. Og
de ligge ved Siden af hinanden. Men naar en
ret Linie er oprejst paa en anden, saa at de
ved Siden af hinanden liggende Vinkler blive
ligestore, er enhver af de ligestore Vinkler ret ;
og den Linie, der er oprejst paa den anden,
kaldes lodret paa den anden.
Altsaa er der fra det givne Punkt C uden-
for den givne ubegrænsede rette Linie AB ned-
fældet den rette Linie CH lodret paa AB ; h. s. g.
13-
Naar en ret Linie er oprejst paa en anden
ret Linie, saa at der dannes Vinkler^ ville de
enten være to rette Vinkler eller tilsammen lig
to rette.
Lad nemlig en vilkaarlig ret Linie AB være
oprejst paa den rette Linie CD og danne Vink-
lerne CBA og ABD. Jeg siger da, at Vink-
21
lerne CBA og ABD enten ere to rette Vinkler
eller tilsammen lig to rette.
Hvis z: CBA er lig ^ ABD, ere de to rette
Vinkler. Men, hvis ikke, saa lad der fra Punkt B
være oprejst BE vinkelret paa CD.
Da ere Vinklerne CBE og EBD to rette
Vinkler. Nu er ^CBE = ^CBA + ^ ABE ; lad
j^ EBD være lagt til dem begge, saa er ^ CBE +
^ EBD =
^ CBA + BA
^ ABE +
^EBD. Endvi-
dereer^DBA
= ^DBE +
^ EBA; lad
^ ABC være ^ ^
lagt til dem
begge, saa er Z. DBA + Z. ABC = Z DBE
+ ^EBA + ZlABC Men det blev ogsaa
bevist, at ^CBE + ^EBD er lig de samme
tre Vinkler. Men Størrelser, som ere ligestore
med den samme Størrelse, ere indbyrdes lige-
store. Altsaa er Z. CBE + Z EBD = Z DBA
-t- Z ABC. Men Vinklerne CBE og EBD ere
to rette. Vinkler. Altsaa er ^DBA + ZABC
lig to rette.
22
Altsaa: naar en ret Linie er oprejst paa en
anden ret Linie, saa at der dannes Vinkler, ville
de enten være to rette Vinkler eller tilsammen
lig to rette; h. s. b.
14.
Naar to rette Linier ere tegnede ud fra et
Punkt paa en ret Linie til hver sin Side^ saa at
Vinklerne ved Siden af hinanden tilsammen
ere lig to rette, ville de rette Linier ligge i For-
længelse af hinanden.
Lad nemlig de to rette Linier BC og BD
være tegnede ud fra et Punkt B paa en ret
Linie AB til hver sin Side, saa at Vinklerne
ved Siden af hinanden tilsammen ere lig to rette.
Jeg siger da, atBD ligger i Forlængelse afCB.
Thi hvis BD ikke ligger i Forlængelse af
CB, saa lad BE ligge i Forlængelse af CB.
Da nu den rette Linie AB er oprejst paa den
*^. rette Linie CBE,
saa er ^ ABC -j-
z: ABE lig to
rette. MenZLABC
+ Z. ABD er og-
saa lig to rette.
Altsaa er Z^ CB A
23
+ Z. ABE = ^ CBA + ^ ABD. Lad den
fælles Vinkel CBA være trukken fra, saa er
Resten Zl ABE lig Resten zl ABD, en mindre
lig en større; hvilket er umuligt. Altsaa
ligger BE ikke i Forlængelse af CB. Paa samme
Maade ville vi ogsaa kunne bevise, at heller
ikke nogen anden gør det, undtagen BD. Altsaa
ligger BD i Forlængelse af CB.
Altsaa: naar to rette Linier ere tegnede ud
fra et Punkt paa en ret Linie til hver sin Side,
saa at Vinklerne ved Siden af hinanden til-
sammen ere lig to rette, ville de rette Linier
ligge i Forlængelse af hinanden; h. s. b.
15-
Naar to rette Linier skære hinanden^ ere
Topvinklerne ligestore.
Lad nemlig de rette Linier AB og CD
skære hinanden i Punkt E. Jeg siger da: ^AEG
= z: DEB, og A, CEB = Z. AED.
Thi da den rette Linie AE er oprejst paa
den rette Linie CD og danner Vinklerne CEA
og AED, saa er Z CEA + Z. AED lig to
rette. Da endvidere den rette Linie DE er op-
24
rejst paa den rette Linie AB og danner
Vinklerne AED og DEB, saa er Z. AED +
^ DEB lig to rette. Men det blev ogsaa
bevist, at Z CEA + ^ AED er lig to rette.
Altsaa er Z. CEA + Z. AED = Z. AEI>
+ Z DEB. Lad den fælles Vinkel AED
være trukken fra, saa er Resten Z CEA lig
Resten ^BED. Paa samme Maade ville vi
ogsaa kunne bevise, at Vinklerne CEB og DEA
ere ligestore.
Altsaa: naar to rette Linier skære hinanden,
ere Topvinklerne ligestore; h. s. b.
1 6.
/ enhver Trekant er, naar en af Siderne
er forlænget, den udvendige Vinkel større, end
enhver af de indvendige og modstaaende Vinkler,
25
Lad ABC være en Trekant, og lad en at
dens Sider BC være forlænget tilD. Jeg siger
da, at den udvendige Vinkel ACD er større end
enhver af de indvendige og modstaaende Vinkler
CBA og BAC.
Lad AC være halveret i E, lad den rette
Linie BE være dragen og forlænget til F, lad
EF være afsat ligBE,
lad FC va^e dragen,
og lad AC være fort-
sat til G.
Da nu AE er lig
EC, og BE er lig EF,
saa ere de to Sider AE
og EB parvis lig de to
Sider CE og EF; og
^ AEB er lig Zl FEC,
thi de ere Topvinkler ;
altsaa er Grundlinie AB lig Grundlinie FC;
A ABE er lig /\ FCE ; og de øvrige Vinkler,
overfor hvilke de ligestore Sider ligge, ere parvis
lig de øvrige Vinkler. Altsaa er -^BAE =
^ ECF. Men Zl ECD er større end ^ ECF.
Altsaa er Zl ACD større end Z. BAE. Paa
samme Maade vil man ved at halvere BC
26
kunne bevise, at ^BCG, det vil sige^ACD,
er større end Zl ABC.
Altsaa: i enhver Trekant er, naar en af
Siderne er forlænget, den udvendige Vinkel større
end enhver af de indvendige og modstaaende
Vinkler; h. s. b.
17.
/ enhver Trekant ere to hvilkesomhelst
Vinkler tilsammen mindre end to rette.
Lad ABC være en Trekant. Jeg siger da,
at i /\ ABC ere to hvilkesomhelst Vinkler- til-
sammen mindre end to rette.
Lad nemlig BC
være forlænget til D.
Da nu ^ACD
er en udvendig Vinkel
til A ABC, er den
større end den indven-
dige og modstaaende
Vinkel ABC. Lad
^ACB være lagt til
dem begge, saa er Z. ACD + ^ ACB større
end Zl ABC + Z, BCA. Men Zl ACD +
z: ACB er lig to rette. Altsaa er zlABC +
Zl BCA mindre end to rette. Paa samme Maade
2^
ville vi ogsaa kunne bevise, at Z^ BAC +
Z. ACB er mindre end to rette, og ligesaa ^ CAB
+ ^ABC.
Altsaa: i enhver Trekant ere to hvilkesom-
helst Vinkler tilsammen mindre end to rette;
h. s. b.
i8.
/ enhver Trekant ligger der overfor en
større Side en større Vinkel,
Lad nemlig ABC være en Trekant, hvor
Side AC er større
end Side AB. Jeg
siger da, at Z^ ABC
er større end A. BCA.
Thi da AC er
større end AB, saa
lad AD være afsat
lig AB, og lad BD
være dragen.
Da nu zlADB er en udvendig Vinkel til
/\BCD, er den større end den indvendige og
modstaaende Vinkel DCB. Men Z^ ADB er lig
ZIABD, da Side AB er lig Side AD. Altsaa
er Z ABD større end Z ACB. Altsaa er
ZlABC meget større end ^ACB.
28
Altsaa: i enhver Trekant ligger der overfor
en større Side en større Vinkel; h. s. b.
'
19.
/ enhver Trekant ligger der overfor en
større Vinkel en større Side.
Lad ABC være en Trekant, hvor Z. ABC
er større end ^BCA. Jeg siger da, at Side
AC er større end Side AB.
Thi, hvis ikke, er AC enten lig med eller
mindre end AB. AC er nu
ikke lig AB; thi i saa Fald
vilde ^ABC værelig^ ACB,
men det er den ikke. Altsaa
er AC ikke lig AB. Men
AC er heller ikke mindre
end AB ; thi i saa Fald vilde
Z. ABC være mindre end
-^ACB, men det er den ikke.
Altsaa er AC ikke mindre end AB. Og det
blev bevist, at den heller ikke er lig AB. Altsaa
er AC større end AB.
Altsaa: i enhver Trekant ligger der overfor
en større Vinkel en større Side; h. s. b.
29
20.
/ enhver Trekant ere to hvilkesomhelst Sider
tilsammen større end den tredje.
Lad nemlig ABC være en Trekant. Jeg
siger da, at i £\ ABC ere to hvilkesomhelst
Sider tilsammen større end den tredje, BA +
AC større end BC, AB + BC større end AC,
BC + CA større end AB.
Lad rømlig BA være fortsat til Punkt D,
lad AD være afsat lig CA,
og lad DC være dragen.
Da nu DA er lig AC, er
Z^ ADC = Z. ACD. Altsaa
er ^BCD større end zl ADC.
Og da DCB er en Trekant,
hvor Z. BCD er større end
^BDC, og der overfor en
større Vinkel ligger en større
Side, saa er DB større end BC. Men DA er
lig AC. Altsaa er BA + AC større end BC.
Paa samme Maade ville vi ogsaa kunne bevise,
at AB + BC er større end AC, og at BC +
CA er større end AB.
Altsaa: i enhver Trekant ere tohvilkesom-
30
helst Sider tilsammen større end den tredje;
h. s. b.
21.
Naar der i en Trekant fra Endepunkterne
af en af Siderne er konstrueret to rette Linier
indenfor Trekanten, saa ville de to rette
Linier tilsammen være mindre end Trekantens to
atidre Sider tilsammen^ men indeslutte en større
Vinkel,
Lad der nemlig i ^ ABC fra Endepunk-
terne B og C af en af Siderne BC være konstrueret
to rette Linier BD og DC indenfor Trekanten.
Jeg siger da, at BD og DC tilsammen ere mindre
end Trekantens to andre Sider BA og AC til-
sammen, men at den Vinkel, de indeslutte,
Z. BDC er større end Z BAC.
Lad nemlig BD være fortsat til E.
Da nu i enhver Trekant de to Sider til-
sammen ere større end den tredje, saa er i
l\ ABE AB -j- AE større end BE. Lad EC være
lagt til dem begge, saa er BA -f AC større
end BE -j- EC. Endvidere er i /\ CED CE
+ ED større end CD. Lad DB være lagt til
dem begge, saa er CE -f EB større end CD
+ DB. Men det blev bevist, at BA + AC
31
er større end BE + EC. Altsaa er BA + AC
meget større end BD + DC.
Da endvidere i enhver Trekant en udvendig
Vinkel er større end enhver af de indvendige
og modstaaende, saa er /\ CDE's udvendige
Vinkel BDC større end ^ CED. Af samme
Grund er altsaa ogsaa ^ ABE's udvendige
Vinkel CEB større end
^ BAC. Men det
blev bevist, at ^ BDC
er større end Z. CEB.
Altsaa er Zl BDC
meget større end
^BAC.
Altsaa : naar der
i en Trekant fra Ende-
punkterne af en af Siderne er konstrueret to rette
Linier indenfor Trekanten, saa ville de to rette
Linier tilsammen være mindre end Trekantens
to andre Sider tilsammen, men indeslutte en
større Vinkel; h. s. b.
22.
Ai konstruere en Trekant af tre rette Linier,
lig tre givne rette Linier; dog maa to hvilkesom-
helst tilsammen være større end den tredje.
32
Lad A, B og C være de tre givne rette Linier,
og lad to hvilkesomhelst af dem tilsammen være
større end den tredje, A + B større end C,
A + C større end B og B + C større end A.
Man skal da konstruere en Trekant af rette
Linier lig A, B og C.
Lad en ret Linie DE være afsat begrænset
i D, men ubegrænset henimod E, lad der være
afsat DF = A, FG = B, GH = C, lad Cirkel
DIK være tegnet med F som Centrum og FD
som Radius, lad endvidere Cirkel KIH være
tegnet med G som Centrum og GH som Radius,
og lad IF og IG være dragne. Jeg siger da, at
33
/\ IFG er konstrueret af tre rette Linier lig
A, B og C.
Thi da Punkt F er Centrum i Cirkel DIK,
er FD = FL Men FD er lig A. Altsaa er
FI ogsaa lig A. Da endvidere Punkt G er
Centrum i Cirkel KIH, er GH = GI. Men GH
er lig C. Altsaa er IG ogsaa lig C. Og FG
er lig B. Altsaa ere de tre rette Linier IF,
FG og GI lig de tre rette Linier A, B og C.
Altsaa er /\ IFG tegnet af tre rette Linier
IF, FG og GI lig de tre givne rette Linier A,
B og C; h. s. g.
23.
Ved en given ret Linie og et givet Punkt
paa den at konstruere en retlinet Vinkel lig
en given retlinet VinkeL
Lad AB være den givne rette Linie, A det
givne Punkt paa den og ^ DCE den givne
retlinede Vinkel. Man skal da ved den givne
rette Linie AB og det givne Punkt A paa den
konstruere en retlinet Vinkel lig den givne ret-
linede Vinkel DCE.
Lad der være taget vilkaarlige Punkter D
og E, henholdsvis paa CD og CE, lad DE
34
være dragen, og lad ^AFG være konstrueret
af tre rette Linier, som ere lig de tre rette
Linier CD, DE og CE^
saa at CD = AF, CE
= AG og DE = FG.
Da nu de to Sider
DC og CE ere parvis lig
de to Sider FA og AG^
og Grundlinie DE er lig
Grundlinie FG, saa er
-^DCE = ^FAG.
Altsaa er der ved
den givne rette Linie AB
og det givne Punkt A paa den konstrueret den
retlinede Vinkel FAG lig den givne retlinede
Vinkel DCE; h. s. g.
24.
Naar to Trekanter have to Sider parvis
ligestore^ men den ene har en større Vinkel
mellem Siderne end den anden^ saa vilden ogsaa
have en større Grundlinie end den anden.
Lad ABC og DEF være to Trekanter, hvor
de to Sider AB og AC parvis ere lig de to
Sider DE og DF, nemlig AB = DE og AC
= DF, men lad Vinkelen ved A være større
35
end Vinkelen ved D. Jeg siger da, at Grund-
linie BC er større end Grundlinie EF.
Thi da ^BAC er større end^EDF, saa
lad der ved den rette Linie DE og Punkt D
paa den være konstrueret Z. EDG = Z- BAC,
lad DG være afsat lig AC eller DF, og
lad EG og FG være
dragne.
Da nu AB er lig DE,
og AC er lig DG, saaere
de to Sider BA og AC
parvis lig de to Sider
ED og DG ; og ^ BAC
er lig A. EDG ; altsaa er
Grundlinie BC lig Grund-
linie EG. Da endvidere
DF er lig DG, er ^ DGF
= Z. DFG. Altsaa er
ZlDFG større end
Zl EGF. Altsaa er Z EFG meget større end
Z. EGF. Da nu EFG er en Trekant, hvor Z EFG
er større end Z EGF, og der overfor en større
Vinkel ligger en større Side, saa er Side EG
større end Side EF. Men EG er lig BC. Altsaa
er ogsaa BC større end EF.
3*
36
Altsaa: naar to Trekanter have to Sider
parvis ligestore, men den ene har en større
Vinkel mellem Siderne end den anden, saa vil
den ogsaa have en større Grundlinie end den
anden; h. s. b.
25.
Naar to Trekanter have to Sider parvis
ligestore ^ men den ene har en større Grundlinie
end den anden^ saa vil den ogsaa have en større
Vinkel mellem Siderne end den anden.
Lad ABC og DEF være to Trekanter,
hvor de to Sider AB og AC parvis ere lig de
to Sider DE og DF, nemlig AB = DE og
AC = DF, men lad
A Grundlinie BC være
større end Grundlinie
EF. Jeg siger da,
at zlBAC er større
end ^EDF.
Thi, hvis ikke,
saa er A. BAC enten
lig med eller mindre
end^EDF. ZIBAC
er nu ikke lig A. EDF ;
thi i saa Fald vilde
37
Grundlinie BC være lig Grundlinie EF, men det
er den ikke. Altsaa er ^ BAG ikke lig Z- EDF.
Men ^BAG er heller ikke mindre end Zl EDF;
thi i saa Fald vilde Grundlinie BG være mindre
end Grundlinie EF, men det er den ikke. Altsaa
er ^ BAG ikke mindre end A. EDF. Og det
blev bevist, at den heller ikke er lig ^ EDF.
Altsaa er /L^PSL større end ^EDF.
Altsaa: naar to Trekanter have to Sider
parvis ligestore, men den ene har en større
Grundlinie end den anden, saa vil den ogsaa
have en større Vinkel mellem Siderne end den
anden; h. s. b.
26.
Naar to Trekanter have to Vinkler parvis
ligestore og et Par Sider ligestore, enten dent^
der ligge mellem de parvis ligestore Vinkler^
eller dem, der ligge overfor et Par ligestore
Vinkler, saa ville de ogsaa have de andre Sider
parvis ligestore og det tredje Par Vinkler lige-
store.
Lad ABG og DEF være to Trekanter, hvor
Vinklerne ABG ogBGA parvis ere lig Vinklerne
DEF og EFD, nemlig Z. ABG = Z. DEF og
^BGA = ^EFD, og lad dem desuden have
38
et Par Sider ligestore, først dem, der ligge
mellem de ligestore Vinkler, nemlig BC = EF.
Jeg siger da, at de ogsaa ville have de øvrige
Sider parvis ligestore, nemlig AB = DE og
AC = DF, og det tredje Par Vinkler ligestore,
nemlig Z^ B AC = ^ EDF.
Thi hvis AB og DE ere uligestore, er en
af dem størst. Lad AB være
størst, lad BG være afsat lig
DE og lad GC være dragen.
Da nu BG er lig DE, og
BC er lig EF, saa ere de to
Sider BG og BC parvis lig de
to Sider ED og EF ; og zl GBC
er lig ^ DEF; altsaa er
Grundlinie GC lig Grundlinie
DF; A GBC er lig A DEF;
og de øvrige Vinkler, overfor
hvilke de ligestore Sider ligge, ville være lige-
store. Altsaa er Z. GCB = Z. DFE. Men det
er givet, at ZlDFE er lig zlBCA. Altsaa er
ZL BCG = Z BCA, en mindre lig en større;
hvilket er umuligt. Altsaa ere AB og DE ikke
uligestore. Altsaa er AB = DE. Desuden er
BC = EF. Altsaa ere de to Sider AB ogBC
parvis lig de to Sider DE og EF; og Z ABC
39
€r lig zlDEF; altsaa er Grundlinie AC lig
Grundlinie DF, og den tredje Vinkel BAC er
lig den tredje Vinkel EDF.
Men lad nu de Sider, der ligge overfor et
Par ligestore Vinkler, være ligestore, f. Ex. AB
= DE; saa siger jeg atter, at de øvrige Sider
ogsaa ville være ligestore, AC = DF og BC
= EF, og tillige, at den tredje Vinkel BAC er
lig den tredje Vinkel EDF.
Thi hvis BC og EF ere uligestore, er en
af dem størst. Lad om muligt BC være størst,
lad BH være afsat lig EF, og lad AH være dragen.
Da nu BH er lig EF, og AB er lig
DE, saa ere de to Sider AB og BH parvis lig
de to Sider DE og EF; og de indeslutte lige-
store Vinkler; altsaa er Grundlinie AH lig Grund-
linie DF; /\ABH er lig /\DEF; og de øvrige
Vinkler, overfor hvilke de ligestore Sider ligge,
ville være ligestore. Altsaa er Z- BHA =
Z. EFD. Men ZL EFD er lig Z BCA. Altsaa er
AAHC's udvendige Vinkel BHA lig den ind-
vendige og modstaacnde Vinkel BCA ; hvilket er
umuligt. Altsaa ere BC og EF ikke uligestore.
Altsaa er BC = EF. Desuden er AB = DE. Alt-
saa ere de to Sider AB og BC parvis lig de to
Sider DE og EF ; og de indeslutte ligestore
40
Vinkler; altsaa er Grundlinie AC lig Grundlinie
DF; ^ ABC er lig /\ DEF; og den tredje
Vinkel BAC er lig den tredje Vinkel EDF.
Altsaa: naar to Trekanter have to Vinkler
parvis ligestore og et Par Sider ligestore, enten
dem, der ligge mellem de parvis ligestore Vinkler,
eller dem, der ligge overfor et Par ligestore
Vinkler, saa ville de ogsaa have de andre Sider
parvis ligestore, og det tredje Par Vinkler lige-
store; h. s. b.
27.
Naar en ret Linie skærer to rette Linier,
og Vekselvinklerne ere ligestore, ville de rette
Linier være parallele.
Lad nemlig den rette Linie EF skære de
to rette Linier AB og CD, og lad Veksel vink-
lerne AEF og EFD være ligestore. Jeg siger
da, at AB er parallel med CD.
Thi, hvis ikke, saa ville AB og CD, naar
de forlænges, mødes enten paa den Side, hvor
B og D ligge, eller paa den Side, hvor A og C
ligge. Lad dem være forlængede og mødes
paa den Side, hvor B og D ligge, i G.
Saa er /\ GEF's udvendige Vinkel AEF lig
den indvendige og modstaaende Vinkel EFG;
41
hvilket er umuligt. Altsaa ville AB og CD, naar de
forlænges, ikke mødes paa den Side, hvor B og
D ligge. Paa samme Maade vil det kunne be-
vistes, at de heller ikke gøre det paa den Side,
hvor A og C ligge. Men Linier, som ikke
mødes til nogen af Siderne, ere parallele. Altsaa
er AB parallel med CD.
Altsaa: naar en ret Linie skærer to rette
Linier, og Vekselvinklerne ere ligestore, ville de
rette Linier være parallele; h. s. b.
28.
Naar en ret Linie skærer to rette Linier^
og den udvendige Vinkel er lig den indvendige
og modstaaende paa samme Side, eller de ind-
vendige Vinkler tilsammen ere lig to rette, ville
de rette Linier være parallele.
42
Lad nemlig den rette Linie EF skære de
to rette Linier AB og CD, og lad den udven-
dige Vinkel EGB være lig den indvendige og
modstaaende Vinkel GHD, eller de indvendige
Vinkler paa samme Side BGH og GHD til-
sammen være lig to rette. Jeg siger da, at AB
er parallel med CD.
Thi da Z, EGB er lig A. GHD, og Z^ EGB
erlig^AGH, saaer
Z AGH = Z GHD.
Og de ere Veksel-
vinkler. Altsaa er
AB parallel med CD.
Da endvidere
ZlBGH + ^GHD
er lig to rette, og
ZIAGH -f ^BGH
ogsaa er lig to rette,
saa er Z BGH + ZL GHD = Z AGH +
Z BGH. Lad den fælles Vinkel BGH være
trukken fra, saa er Resten Z AGH lig Resten
Z GHD. Og de ere Vekselvinkler. Altsaa er
AB parallel med CD.
Altsaa: naar en ret Linie skærer to rette
Linier, og den udvendige Vinkel er lig den ind-
vendige og modstaaende paa samme Side, eller
V
43
de indvendige Vinkler paa samme Side tilsammen
ere lig to rette, ville de rette Linier være pa-
rallele; h. s. b.
29.
Naar en ret Linie skærer parallele rette
Linier^ ere Vekselvinklerne ligestore^ den ud-
vendige Vinkel er lig den indvendige og mod-
staaende^ og de indvendige Vinkler paa samme
Side ere tilsammen lig to rette.
Lad nemlig den rette Linie EF skære de
parallele rette Linier AB og CD. Jeg siger da,
at Vekselvinklerne AGH og GHD ere ligestore,
at den udvendige Vinkel EGB er lig den ind-
vendige og modstaaende Vinkel GHD, og at
de indvendige Vinkler paa samme Side BGH og
GHD tilsammen ere lig to rette.
Thi hvis Z- AGH og Zl GHD ere uligestore,
er en af dem størst. Lad Z- AGH være størst,
og lad Z-. BGH være lagt til dem begge, saa
er Z. AGH + Z BGH større end Z BGH +
Z GHD. Men Z AGH + Z BGH er lig to
rette. Altsaa er Z BGH + Z GHD mindre end
to rette. Men rette Linier mødes, naar de for-
længes ubegrænset fra Vinkler, der tilsammen
ere mindre end to rette. Altsaa ville AB og
'
44
CD mødes, naar de forlænges ubegrænset. Men
de mødes ikke, fordi det er givet, at de ere
parallele. Altsaa er ^ AGH og ^ GHD ikke
uligestore. Altsaa er ^ AGH = Z. GHD.
Men ^ AGH er lig ^ EGB. Altsaa er ^ EGB
= ^ GHD. Lad nu ^ BGH være lagt til dem
begge, saa er ^ EGB + ^ BGH = ^ BGH
+ ^ GHD. Men ^ EGB + ^ BGH er lig
to rette. Altsaa
er ogsaa ^ BGH
+ ^ GHD lig to
rette.
Altsaa: naar
en ret Linie skæ-
rer parallele rette
Linier, ere Vek-
selvinkleme lige-
store, den udven-
dige Vinkel er lig den indvendige og modstaa-
ende, og de indvendige Vinkler paa samme
Side ere tilsammen lig to rette; h. s. b.
30.
ReUe Linier, der ere parallele med den
samme rette Linie, ere indbyrdes parallele.
45
Lad begge de rette Linier AB og CD være
parallele med EF. Jeg siger da, at AB er pa-
rallel med CD.
Lad nemlig den rette Linie GI skære dem.
Da den rette Linie GI har skaaret de pa-
rallele rette Linier AB og EF, saa er ^ AGI
= ^ GHF. Da endvidere den rette Linie GI
har skaaret de parallele rette Linier EF og CD,
saa er ^ GHF = z: GID.
Men det blev ogsaa
bevist, at Z^ AGI er
lig ^GHF. Altsaa er
Z. AGI = ^ GID. Og
de ere Vekselvinkler. Alt-
saa er AB parallel medCD .
Altsaa: rette Linier, der ere parallele med
den samme rette Linie, ere indbyrdes parallele;
h. s. b.
31.
Gennem et givet Punkt at trække en ret
Linie^ parallel med en given ret Linie,
Lad A være det givne Punkt og BC den
givne rette Linie. Man skal da gennem Punkt
46
A trække en ret Linie parallel med den rette
Linie BC.
Lad der paa BC være taget et vilkaarligt
Punkt D, og lad AD være dragen; lad der ved
den rette Linie AD og Punktet A paa den være
konstrueret ^ DAE
= Z, ADC, og lad
den rette Linie AF
være afsat i Forlæn-
^ gelse af EA.
Da nu den rette
Linie AD har skaaret de to rette Linier BC og
EF, og Vekselvinkleme EAD og ADC ere lige-
store, saa er EAF parallel med BC.
Altsaa er der gennem det givne Punkt A
trukket den rette Linie EAF parallel med den
givne rette Linie BC; h. s. g.
32.
/ enhver Trekant er^ naar en af Siderne
er forlængety den udvendige Vinkel lig de to
indvendige og modstaa/:nde tilsammen^ og de tre
Vinkler inde i Trekanten ere tilsammen lig to
rette.
Lad ABC være en Trekant, og lad dens
ene Side BC være forlænget til D. Jeg siger
47
da, at den udvendige Vinkel ACD er lig de to '
indvendige og modstaaende CAB og ABC til-
sammen, og at de tre Vinkler inde i Trekanten
ABC, BCA og CAB tilsammen ere lig to rette.
Lad nemlig CE være trukken gennem Punkt
C parallel med den rette Linie AB.
Da nu AB er parallel med CE, og den
rette Linie AC har skaaret dem, ere Veksel-
vinklerne BAC og ACE ligestore. Da paa den
I anden Side AB er pa-
I rallel med CE, og den
rette Linie BD har
^ skaaret dem, er den ud-
vendige Vinkel ECD lig
den indvendige og mod-
staaende Vinkel ABC.
I Men det blev ogsaa bevist, at Z. ACE er lig
I Z, BAC. Altsaa er hele Z. ACD lig de to ind-
j vendige og modstaaende Vinkler BAC + ABC.
^ Lad nu Z ACB være lagt til dem begge,
1 saa er altsaa Z ACD + Z ACB = Z ABC
+ Z BCA + Z CAB. Men Z ACD +
zlACB er lig to rette; altsaa er ogsaa ^ ABC
+ Z BCA + Z CAB lig to rette.
Altsaa: i enhver Trekant er, naar en af
Siderne er forlænget, den udvendige Vinkel
48
lig de to indvendige og modstaaende tilsammen,
og de tre Vinkler inde i Trekanten ere tilsam-
men lig to rette; h. s. b.
33-
Rette Linier^ som forbinde de til hinanden
svarende Endepunkter af ligestore og parallele
rette Linier, ere selv ligestore og parallele.
Lad AB og CD være ligestore og parallele,
og lad de rette Linier
AC og BD forbinde
de til hinanden sva-
rende Endepunkter.
Jeg siger da, at AC
og BD ere ligestore
og parallele.
Lad BC være dragen.
Da nu AB er parallel med CD, og BC har
skaaret dem, saa ere Vekselvinklerne ABC og BCD
ligestore. Og da AB er lig CD, og BC er fælles,
saa ere de to Sider AB og BC lig de to Sider BC
og CD. Desuden er ^ ABC = Z. BCD. Altsaa
er Grundlinie AC lig Grundlinie BD ; ^ ABC er
lig /\ BCD ; og de øvige Vinkler, overfor hvilke
de ligestore Sider ligge, ville være parvis lige-
store. Altsaa er A. ACB = Z, CBD. Da nu
49
den rette Linie BC skærer de to rette Linier
AC og BD, og Vekselvinklerne ere ligestore,
saa er AC parallel med BD. Men det blev
ogsaa bevist, at AC er lig BD.
Altsaa: rette Linier, som forbinde de til
hinanden svarende Endepunkter af ligestore og
parallele rette Linier, ere selv ligestore og pa-
rallele; h. s. b.
34.
I et Parallelogram ere de modstaaende Sider
og Vinkler indbyrdes ligestore, og Diagonalen
halverer Parallelogrammet,
Lad ACDB være et Parallelogram og BC
dets Diagonal. Jeg siger da, at i /~7 ACDB
ere de modstaaende Sider og Vinkler indbyrdes
ligestore, og at Diagonalen BC halverer det.
Thi da AB er parallel med CD, og den
rette Linie BC har skaaret dem, ere Veksel-
vinklerne ABC og BCD ligestore. Da endvidere
AC er parallel med
BD, ogBC har skaa-
ret dem, ere Veksel-
vinklerne ACB og
CBD ligestore. Alt-
saa ere ABC og BCD
50
to Trekanter, hvor de to Vinkler ABC og BC A
ere parvis lig de to Vinkler BCD og CBD, og
hvor et Par Sider ere ligestore, nemlig Fælles-
siden BC, som ligger mellem de ligestore Vinkler.
Altsaa ville de ogsaa have de øvrige Sider parvis
ligestore og det tredje Par Vinkler ligestore.
Altsaa er AB = CD, AC = BD og ^ BAG
= Z. CDB. Da nu Z, ABC er lig Z. BCD, og
Z CBD er lig Z ACB, saa er hele Z ABD lig
hele Z ACD. Men det blev ogsaa bevist, at
Z BAC er lig Z CDB.
Altsaa : i ét Parallelogram ere de modstaa-
ende Sider og Vinkler indbyrdes ligestore.
Jeg siger endvidere, at Diagonalen halverer
Parallelogrammet. Thi da AB er lig CD, og
BC er fælles, saa ere de to Sider AB og BC
parvis lig de to Sider CD og BC ; og Z ABC
er lig Z BCD. Altsaa er Grundlinie AC lig
Grundlinie DB, og /\ ABC er lig /\ BCD.
Altsaa : Diagonalen BC halverer [^J ABCD ;
h. s. b.
35.
Parallelogrammer paa samme Grundlinie
og mellem de samme Paralleler ere ligestore.
51
Lad ABCD og EBCF være Parallelogrammer
paa samme Grundlinie BC og mellem de samme
Paralleler AF og BC. Jeg siger darOABCD
= /UEBCF.
Thi da ABCD er et Parallelogram, er AD
= BC. Af samme Grund er ogsaa EF = BC.
Følgelig er AD = EF. Og DE er fælles.
Altsaa er hele AE lig hele DF. Desuden er
AB = DC. Altsaa ere de to Sider EA og AB
parvis lig de to Sider FD og DC; og ^FDC
er lig Z^ EAB, nemlig den udvendige lig den
indvendige; altsaa er Grundlinie EB lig Grund-
linie FC ; og A EAB vil være lig A DFC. Lad
den fælles DGE være trukken fra, saa er Resten
Firkant ABGD lig Resten Firkant EGCF. Lad
^GBC være lagt til dem begge, saa er hele
OJ ABCD lig hele OJ EBCF.
Altsaa: Parallelogrammer paa samme Grund-
4*
52
linie og mellem de samme Paralfeler ere lige-
store; h. s. b.
36-
Par dllelogr ammer paa ligestore Grundlinier
og mellem de samme Paralleler ere ligestore.
Lad ABCD og EFGH være Parallelo-
grammer paa ligestore Grundlinier BC og FG
og mellem de samme Paralleler AH og BG.
Jeg siger da: O ABCD = O EFGH.
Lad nemlig BE og CH være drap^ne.
Da nu BC er lig FG, men FG er lig EH, saa er
ogsaa BC = EH. Desuden ere de parallele,
og EB ogHC forbinde dan. Men rette Linier,
som forbinde de til hinanden svarende Ende-
punkter af ligestore og parallele rette Linier, ere
ligestore og parallele. Altsaa er EBCH et Pa-
rallelogram. Og det er lig n ABCD ; thi de
53
have samme Grundlinie BC og ligge mellem de
samme Paralleler BC og AH. Af samme Grund
er ogsaa [Z] EFGH = [Z] EBCH. Følgelig er
^^ABCD = £17 EFGH.
Altsaa: Parallelogrammer paa ligestore
Grundlinier og mellem de samme Paralleler ere
ligestore; h. s. b.
37.
Trekanter paa samme Grundlinie og mellem
de samme Paralleler ere ligestore.
Lad ABC og DBC være Trekanter paa
samme Grundlinie BC og mellem de samme
Paralleler AD og BC. Jeg siger da: /\ ABC
= ADBC.
Lad AD være forlænget til begge Sider til E
og F, lad BE være trukken gennem B parallel med
CA, og lad CF være trukken gennem C parallel
med BD.
Saa ere EBCA og DBCF Parallelogrammer ;
og de ere ligestore, thi de ligge paa samme Grund-
linie BC og mellem
de samme Paral- ^. 4
leler BC og EF.
Men A ABC er
Halvdelen af
2C7EBCA,thiDia-
54
gonalAB halverer det; og /\ DBC er Halvdelen
af OJ DBCF, thi Diagonal DC halverer det ;
altsaa er A ABC = A DBC.
Altsaa: Trekanter paa samme Grundlinie
og mellem de samme Paralleler ere ligestore;
h. s. b.
38.
Trekanter paa ligestore Grundlinier og
mellem de samme Paralleler ere ligestore.
Lad ABC og DEF være Trekanter paa
ligestore Grundlinier BC og EF og mellem de
samme Paralleler BF og AD. Jeg siger da:
AABC = ADEF.
Lad nemlig AD være forlænget til begge
Sider til G og H, lad BG være trukken gennem
B parallel med CA, og lad FH være trukken
gennem F parallel med ED.
Saa ere baade GBCA og DEFH Parallelo-
grammer; og^^ GBCA er lig O DEFH ; thi de
ligge paa ligestore
Grundlinier BC og
EF og mellem de
samme Paralleler BF
ogGH. MenAABC
er Halvdelen af
O GBCA, thi Dia-
55
gonal AB halverer det; og /\ FED er Halv-
delen af [Z/ DEFH, thi Diagonal DF halverer
det; altsaa er ^ABC = ^DEF.
Altsaa : Trekanter paa ligestore Grundlinier
og mellem de samme Paralleler ere ligestore;
h. s. b.
39.
Ligestore Trekanter paa samme Grundlinie
og paa samme Side ligge ogsaa mellem de samme
Paralleler.
Lad ABC og DBC være ligestore Trekanter
paa samme Grundlinie BC og paa samme Side
af BC. Jeg siger da, at de ogsaa ligge mellem
de samme Paralleler.
Lad nemlig AD være dragen. Jeg siger
da, at AD er parallel med BC.
Thi, hvis ikke, saa lad AE være trukken
. gennem Punkt A parallel med den rette Linie
BC, og lad EC være dragen.
Saa er l\ ABC
= A EBC; thi ^
de ligge paa
samme Grund-
linie BC og mel-
lem de samme
56
Paralleler. Men/\ABC er ogsaalig ADBC. Alt-
saa er /\ DBC = ^ EBC, en større lig en
mindre ; hvilket er umuligt. Altsaa er AE ikke pa-
rallel med BC. Paa samme Maade ville vi kunne
bevise, at heller ikke nogen anden er det und-
tagen AD. Altsaa er AD parallel med BC.
Altsaa: ligestore Trekanter paa samme
Grundlinie og paa samme Side ligge ogsaa
mellem de samme Paralleler; h. s. b.
40.
Ligestore Trekanter paa ligestore Gruyid-
linier og paa samme Side ligge ogsaa m.ellem^
de samme Paralleler.
Lad ABC og DCE være ligestore Trekanter
paa ligestore Grundlinier BC og CE og paa
samme Side. Jeg siger da, at de ogsaa ligge
mellem de samme Paralleler.
Lad nemlig AD være dragen. Jeg siger da,
at AD er parallel med BC.
Thi, hvis ikke, saa lad AF være trukken
gennem A parallel med BE, og lad FE være
dragen.
Saa er A ABC = C\ FCE; thi de
l^SS^ P3^ ligestore Grundlinier BC og CE og
mellem de samme Paralleler BE og AF. Men
A ABC er ogsaa lig A DCE. Altsaa er l\ DCE
57
= /\FCE, en større lig en mindre; hvilket er
umuligt. Altsaa er AF ikke parallel med BE.
Paa samme Maade ville vi kunne bevise, at
heller ikke nogen anden er det undtagen AD.
Altsaa er AD parallel med BE.
Altsaa: ligestore Trekanter paa ligestore
Grundlinier og paa samme Side ligge ogsaa
mellem de samme Paralleler; h. s. b.
41.
Naar et Parallelogram har samme Grund-
linie som en Trekant og ligger mellem, de samme
Paralleler, er Parallelogrammet dobbelt saa stort
som. Trekanten.
Lad nemlig /~7 ABCD have samme Grund-
linie som l\ EBC, nemlig BC, og ligge mellem
de samme Paralleler BC og AE. Jeg siger da:
O ABCD = 2ABEC.
Lad AC være dragen.
58
Saaer^ABC = /^EBC; thi de ligge paa
samme Grundlinie BC og mellem de samme Paral-
leler BC og AE. Men /I7ABCD er lig 2 /\ ABC ;
thi Diagonal AC halverer det. Følgelig er ogsaa
OABCD = 2AEBC.
Altsaa: naar et Parallelogram har samme
Grundlinie som en Trekant og ligger mellem de
samme Paralleler, er Parallelogrammet dobbelt
saa stort som Trekanten; h. s. b.
42.
At konstruere et Parallelogram lig en given
Trekant og med en given retlinet Vinkel,
Lad ABC være den givne Trekant og D
den givne retlinede Vinkel. Man skal da kon-
struere et Parallelogram lig /\ ABC og med den
retlinede Vinkel D.
Lad BC være halveret i E, lad AE være
dragen, lad ^ CEF = -^ D være konstrueret
59
ved den rette Linie EC og Punkt E paa den, lad
AG være trukken gennem A parallel med EC, og
lad CG være trukken gennem C parallel med EF.
Saa er FECG et Parallelogram. Da nu
BE er lig EC, er /\ ABE = /\ AEC; thi
de ligge paa ligestore Grundlinier BE og EC
og mellem de samme Paralleler BC og AG.
Altsaa er /\ ABC
= 2/\ AEC. Men
r^ FECG er ogsaa
Ug 2 A AEC; thi
de have samme
Grundlinie og ligge
mellem de samme
Paralleler. Altsaa er O FECG = A ABC.
Og det har Vinkelen CEF lig den givne Vinkel D.
Altsaa er der konstrueret Parallelogrammet
FECG lig den givne Trekant ABC og med
^ CEF, som er lig D; h. s. g.
43-
/ ethvert Parallelogram ere Udfyldnings-
figurerne til Par alle logr ammerne omkring Dia-
gonalen ligestore.
Lad ABCD være et Parallelogram og AC
dets Diagonal, lad EG og FH være Parallelo-
grammer omkring AC, og BI og ID de saa-
6o
kaldte Udfyldningsfigurer. Jeg siger da, atUd-
fyldningsfigur BI er lig Udfyldningsfigur ID.
Thi da ABCD er et Parallelogram og AC
dets Diagonal, er A ABC = /\ ACD. Da
endvidere EG er et Parallelogram, og AI dets
Diagonal, er /\ AEI = /\ AGI. Af samme
Grund er A IFC = A IHC. Da nu A AEI
er lig A AGI, og A IFC er lig A IHC, saa
er A AEI + AIHC = A AGI + A IFC;
desuden er hele A ABC lig hele A ADC ; alt-
saa er Resten Udfyldningsfigur BI lig Resten
Udfyldningsfigur ID.
Altsaa: i ethvert Parallelogram ere Udfyld-
ningsfigurerne til Parallelogrammerne omkring
Diagonalen ligestore; h. s. b.
44-
Langs en given ret Linie at lægge et Pa-
rallelogram lig en given Trekant og med en
given retlinet Vinkel,
6i
Lad AB være den givne rette Linie, C den
givne Trekant og D den givne retlinede Vinkel.
Man skal da langs den givne rette Linie AB lægge
et Parallelogram lig den givne Trekant C og
med en Vinkel lig D.
Lad /"^BEFG være tegnet lig A C og
med A. EBG, som er lig D, og lad det være
lagt, saa at BE og AB ligge i Forlængelse af
hinanden, lad FG være fortsat til H, lad AH
være trukken gennem A parallel medBG eller
EF, og ladHB være dragen.
Da nu den rette Linie HF har skaaret Paralle-
lerae AH og EF, saa er Z. AHF + Z, HFE lig to
rette. Altsaa er Z BHG + Z GFE mindre end
to rette. Men rette Linier mødes, naar de forlænges
ubegrænset fra Vinkler, der tilsammen ere mindre
end to rette. Altsaa ville HB og FE mødes,
62
naar de forlænges. Lad dem være forlængede
og mødes i I, lad IK være trukken gennem
Punkt I parallel med EA eller FH, og lad HA og
GB være forlængede til Punkterne K og L.
Saa er HKIF et Parallelogram, HI dets Diagonal,
AG og LE Parallelogrammer omkring HI, og
KB og BF de saakaldte Udfyldningsfigurer.
Altsaa er KB = BF. Men BF er lig /\ C.
Altsaa er ogsaa KB = C. Og da ^ GBE er
lig ^ ABL, og ^ GBE er lig D, saa er ^ ABL
Altsaa er der langs den givne rette Linie
AB lagt Parallelogrammet KB lig den givne
Trekant C og med -^ ABL, som er lig D; h. s. g.
45.
At konstruere et Parallelogram lig en given
retlinet Figur og med en given retlinet Vinkel.
Lad ABCD være den givne retlinede Figur
og E den givne retlinede Vinkel. Man skal da
konstruere et Parallelogram lig den retlinede
Figur ABCD og med den givne Vinkel E.
Lad DB være dragen, og lad der være
konstrueret et Parallelogram FH = /\ ABD og
med Z- HIF, som er lig E, og lad der langs
63
den rette Linie GH være lagt et Parallelogram
GL = /\ DBC og med ^ GHL, som er lig E.
Da nu zl E baade er lig ^ HIF og Zl GHL,
saa er ^ HIF = ^ GHL. Lad zl IHG være lagt
til dem begge, saa er ^ FIH + zl IHG =
^ IHG + ^ GHL. Men ^ FIH + ^ IHG
er lig to rette. Altsaa er ^ IHG + ^ GHL
ogsaa lig to rette. Da ere de to rette Linier
IH og HL tegnede ud fra en ret Linie GH og
et Punkt Hpaa den til hver sin Side, saa at Vink-
lerne ved Siden af hinanden tilsammen ere lig
to rette. Altsaa ligge IH og HL i Forlængelse
af hinanden. Da nu den rette Linie HG har
skaaret IL og FG, ere Vekselvinkleme LHG
og HGF ligestore. Lad Zl HGK være lagt til
dem begge, saa er zl LHG + ^ HGK =
^ HGF + ^ HGK. Men ^ LHG + ^ HGK
er lig to rette. Altsaa er Z. HGF + Z. HGK
ogsaa lig to rette. Altsaa ligge FG og GK i
64
Forlængelse af hinanden. Da nu IF er lig og
parallel med HG, og HG er lig og parallel med
LK, saa er IF lig og parallel med LK; og de
rette Linier IL og FK forbinde deres til hin-
anden svarende Endepunkter; altsaa ere ogsaa
IL og FK ligestore og parallele. Altsaa er
IFKL et Parallelogram. Da nu /\ ABD er lig
/~7 FH, og /\ DBC er lig GL, saa er hele den
retlinede Figur ABCD lig hele O IFKL.
Altsaa er der konstrueret Parallelogrammet
IFKL lig den givne retlinede Figur og med
-^FIL, som er lig den givne Vinkel E; h. s. g.
46.
At tegne et Kvadrat paa en given ret Linie,
Lad AB være den givne rette Linie. Man
skal da tegne et Kvadrat paa den givne rette
Linie AB.
Lad AC være oprejst fra Punkt A paa den
rette Linie AB vinkelret paa AB, og lad AD
være afsat lig AB; lad DE være trukken gennem
Punkt D parallel med AB, og lad BE være
trukken gennem Punkt B parallel med AD. Saa
er ADEB et Parallelogram. Altsaa er AB =
65
DE og AD = BE. Men AB er lig AD;
altsaa ere de fire BA, AD, DE og EB
ligestore. Altsaa er /~~7 ADEB ligesidet. Jeg
siger da, at det ogsaa er retvinklet. Thi da
den rette Linie AD har skaaret Parallelerne AB
og DE, saa er Z. BAD + Z. ADE
lig to rette. Men Zl BAD er
ret. Altsaa er Z ADE ogsaa
ret. Nu ere i et Parallelogram
de modstaaende Sider og Vinkler
indbyrdes ligestore. Altsaa ere
ogsaa begge de modstaaende
Vinkler ABE og BED rette.
Altsaa er CJ ADEB retvinklet.
Desuden blev det bevist, at det er ligesidet.
Altsaa er det et Kvadrat, og det er tegnet
paa den rette Linie AB; h. s. g.
47.
/ en retvinklet Trekant er Kvadratet paa
den Side, der ligger overfor den rette Vinkel,
lig Summen af Kvadraterne paa de Sider, der
indeslutte den rette Vinkel.
Lad ABC være en retvinklet Trekant, hvor
5
66
BAC er ret. Jeg siger da, at □ BC er lig^
DBA + DAC.
Lad der nemlig paa BC være tegnet et
Kvadrat BDEC og paa BA og AC Kvadra-
terne GB ogHC, lad AK være trukken gennem
A parallel med BD eller CE, og lad AD og^
FC være dragne.
Da nu begge Vinklerne BAC og BAG
ere rette, saa ere de to rette Linier AC og
AG tegnede ud fra et Punkt A paa en ret
Linie AB til hver sin Side, saa at Vinklerne ved
Siden af hinan-
den ere lig ta
rette. Altsaa
ligge AC og AG
i Forlængelse af
hinanden. Af
samme Grund
ligge ogsaa BA
og AH i Forlæn-
gelse af hinanden.
Nu er Z. DBC
= Z. FBA; thi
de ere begge
rette. Lad Z ABC være lagt til dem begge,
saa er hele Z DBA lig hele Z. FBC. Da nu
67
DB er lig BC, og FB er lig BA, saa ere de to
Sider DB og BA parvis lig de to Sider CB og
BF ; og ^ DBA er lig Z. FBC ; altsaa er Grund-
linie AD lig Grundlinie FC; og A ABD er lig
AFBC. Men /I7BK er lig 2 AABD ; thi de have
samme Grundlinie BD og ligge mellem de
samme Paralleler BD og AK; og Kvadrat
GB er lig 2 A FBC, thi de have samme
Grundlinie FB og ligge mellem de samme
Paralleler FB og GC; altsaa er/~7BK lig Kva-
drat GB. Paa samme Maade vil man ved at
drage AE og BI kunne bevise, at A~7CK er
lig Kvadrat HC. Altsaa er hele Kvadrat BDEC
lig Summen af de to Kvadrater GB og HC.
Men BDEC er Q BC, GB . og HC ere Q BA
og □ AC. Altsaa er Q BC = QBA +
DAC.
Altsaa : i en retvinklet Trekant er Kvadratet
paa den Side, der ligger overfor den rette Vinkel,
lig Summen af Kvadraterne paa de Sider, der
indeslutte den rette Vinkel; h. s. b.
48.
Naar Kvadratet paa en af Siderne i en
Trekant er lig Summen af Kvadraterne paa
68
Trekantens to andre Sider, er den Vinkel, der
indesluttes af Trekantens to andre Sider, ret.
Lad nemlig Kvadratet paa en af Siderne
BC i A ABC være lig Summen af Kvadraterne
paa Siderne BA og AC. Jeg siger da, at Zl BAC
er ret.
Lad nemlig AD være oprejst fra Punkt A
vinkelret paa den rette Linie AC, lad AD
være afsat lig BA, og lad DC være dragen.
Da nu DA er lig AB, er ogsaa □ DA =
□ AB. Lad □ AC være lagt til dem begge,
saa er □ DA + n AC = D BA + □ AC.
Men □ DC er lig D DA + □ AC, thi
^DAC er ret; og D BC
er lig D BA + n AC,
thi det er givet; altsaa er
□ DC = n BC. Følge-
lig er Side DC ogsaa lig
Side BC. Da tillige DA
er lig AB, og AC er
fælles, saa ere de to Sider
DA og AC lig de to
Sider BA og AC; og Grundlinie DC er lig
Grundlinie BC; altsaa er Z. DAC = Zl BAC.
Men Z, DAC er ret. Altsaa er Z. BAC
ogsaa ret.
69
Altsaa: naar Kvadratet paa en af Siderne
i en Trekant er lig Summen af Kvadraterne
paa Trekantens to andre Sider, er den Vinkel,
der indesluttes af Trekantens to andre Sider,
ret; h. s. b.
II.
Definitioner.
1. Ethvert Rektangel siges at indesluttes
af to af de rette Linier, der indeslutte den
rette Vinkel.
2. I ethvert Parallelogram kan man kalde
et hvilketsomhelst af Parallelogrammerne om-
kring dets Diagonal sammen med de to Ud-
fyldningsfigurer for en Gnomon.
I.
Naar man har to rette Linier^ og den ene
af dem er delt i et vilkaarligt Antal Stykker,
er det Rektangel, der indesluttes af de to rette
Linier y lig Summen af de Rektangler , der inde-
sluttes af den udelte rette Linie og hvert af
Stykkerne.
71
Lad A og BC være de to rette Linier, og
lad BC være delt vilkaarligt i Punkterne D og
E. Jeg siger da: □ A, BC = | | A, BD +
□ A, DE + nA, EC.*)
Lad nemlig BF være oprejst fraB vinkelret l. u
paa BC ; lad BG være afsat lig A, lad GH være
trukken gennem G parallel medBC, og lad DI, I. 31
EK og CH være trukne
gennem D, E og C ^
parallele med BG.
Da er BH = BI
+ DK + EH. Men
BH er □ A, BC, thi
det indesluttes af GB
og BC, og BG er lig
A; BI er □ A, BD,
thi det indesluttes af GB og BD, og BG er
lig A; DK er n A, DE, thi DI, det vil
sige BG, er lig A; endelig faas paa sammel. 34
Maade, at EH er □ A, EC. Altsaa er □ A, BC
= □ A, BD + □ A, DE + n A, EC.
Altsaa: naar man har to rette Linier, og
den ene af dem er delt i et vilkaarligt Antal
Stykker, er det Rektangel, der indesluttes af de
to rette Linier, lig Summen af de Rektangler,
*) (a + b + c) d = ad + bd + cd.
72
I. 46
1. 31
der indesluttes af den udelte rette Linie og
hvert af Stykkerne; h. s. b.
2.
Naar en ret Linie er delt vilkaarligt^ er
Summen af de Rektangler, der indesluttes af hele
Linien og hvert af Stykkerne^ lig Kvadratet paa
hele Linien,
Lad nemlig den rette Linie AB være delt
vilkaarligt i Punktet C. Jeg siger da : | | AB, BC
+ □BA,AC = DAB.*)
Lad der nemlig paa AB være tegnet et
Kvadrat ADEB, og lad CF
være trukken gennem C pa-
rallel med AD eller BE.
Da er AE = AF + CE.
Men AE er Q AB; AF er
BA, AC, thi det indesluttes
I. Def. 22
af DA og AC, og DA er lig
AB; og CE er □ AB, BC, thi BE er lig AB.
Altsaa er □ BA, AC + □ AB, BC = □ AB.
Altsaa: naar en ret Linie er delt vilkaar-
ligt, er Summen af de Rektangler, der indesluttes
af hele Linien og hvert af Stykkerne, lig Kva-
dratet paa hele Linien; h. s. b.
•) (a + b) a + (a + b) b = (a + b)«.
73
3.
Naar en ret Linie er delt vilkaarligt, er
det Rektangel, der indesluttes af hele Linien og
et af Stykkerne^ lig Summen af Kvadratet paa
Stykket og det Rektangel, der indesluttes af
Stykkerne,
Lad nemlig den rette Linie AB være delt
vilkaarligt i C. Jeg siger da: | | AB, BC =
□ AC,CB + DBC.*)
Lad der nemlig paa CB være tegnet etl. 46
Kvadrat CDEB, lad ED være fortsat til F, og
lad AF være trukken
gennem A parallel med å r ^ l- 3'
CD eller BE.
Da er AE = AD
-h CE. Men AE er
AB, BC, thi det inde-
sluttes af AB og BE, og
BE er lig BC; AD er
AC, CB, thi DC er
lig CB ; og DB er Q CB. Altsaa er □ AB,BC
= QACCB + DBC.
Altsaa: naar en ret Linie er delt vilkaarligt,
er det Rektangel, der indesluttes af hele Linien
og et af Stykkerne, lig Summen af Kvadratet
*) (a + b) b = ab + b«.
74
paa Stykket og det Rektangel, der indesluttes
af Stykkerne ; h. s. b.
Naar en ret Linie er delt vilkaarligt^ er
Kvadratet paa hele Linien lig Summen af Kva-
draterne paa Stykkerne og to Gange det Rekt-
angel, der indesluttes af Stykkerne,
Lad nemlig den rette Linie AB være delt
vilkaarligt i C. Jeg siger da: QAB = QAC
+ QCB + 2nAC,CB.*)
Lad der nemlig paa AB være tegnet et
Kvadrat ADEB, lad BD være dragen, lad CF
I. 30— 3 1 være trukken gennem C parallel med AD eller
EB, og lad HI være trukken gennem G parallel
med AB eller DE.
Da nu CF er parallel med AD, og BD har
I. 29 skaaret dem, er den udvendige Vinkel CGB lig den
indvendige og modstaaende
Vinkel ADB; og ^ ADB er lig
Z. ABD, fordi Side BA er lig
Side AD; altsaa er Z. CGB
= Z. GBC ; følgelig er Side
BC lig Side CG. Men CB
I. 34 ^ ^ ^ er lig GI; og CG er lig IB;
I. 5
I. 6
•) (a + b)2 = a« + b2 -f 2ab.
75
altsaa er GI = IB. Altsaa er CGIB ligesidet.
Knd videre siger jeg, at den ogsaa er retvinklet.
Thi da CG er parallel med BI, saa er ^IBC
-h ^ GCB lig to rette ; og A. IBC er ret ; altsaa i. 29
er ^ BCG ogsaa ret; følgelig ere de modstaaende
Vinkler CGI og GIB ogsaa rette. Altsaa er I. 34
CGIB retvinklet. Men det blev ogsaa bevist,
at den er ligesidet. Altsaa er den et Kvadrat;
og den er □ CB. Af samme Grund er HF
ogsaa et Kvadrat; og den er □ HG, det vil I. 34
sige □ AC. Altsaa ere HF og IC □ AC og
n CB. Og da AG er lig GE, og AG er I. 43
I I AC, CB, thi GC er lig CB, saa er GE =
I I AC, CB. Altsaa er AG + GE = 2 □ AC, CB.
Desuden ere Kvadraterne HF og CI □ AC og
n CB. Altsaa ere de fire HF + CI + AG +
GE = n AC + D CB + 2 □ AC, CB. Men
HF + CI + AG + GE er hele ADEB, som
er n AB. Altsaa er n AB = D AC + d CB
+ 2 I I AC, CB.
Altsaa: naar en ret Linie er delt vilkaarligt,
er Kvadratet paa hele Linien lig Summen af
Kvadraterne paa Stykkerne og to Gange det
Rektangel, der indesluttes af Stykkerne; h. s. b.
76
5.
Naar en ret Linie er delt i ligestore og i
uligestore Stykker^ er det Rektangel^ der inde-
sluttes af hele Liniens uligestore Stykker^ samt
Kvadratet paa Stykket melletn Delingspunkteme
lig Kvadratet paa Halvdelen,
Lad nemlig en ret Linie AB være delt i
ligestore Stykker i C og i uligestore Stykker i
D. Jeg siger da: QAD, DB + □ CD =
D CB.*)
Lad der nemlig paa CB være tegnet et
Kvadrat CEFB, lad BE være dragen, lad DG
være trukken gennem D parallel med CE eller
BF, lad endvidere IL være trukken gennem H
parallel med AB eller EF, og lad endelig AI være
trukken gennem A parallel med CK eller BL.
•)ab + (i±-^_b\* = (
a + b\2
77
Nu er Udfyldningsfigur CH lig Udfyldnings-
figur HF; lad saaDL være lagt til dem begge,
saa er hele CL lig hele DF. Men CL er lig
AK, fordi AC er lig CB. Altsaa er AK = DF.
Lad CH være lagt til dem begge, saa er hele
AH lig Gnomon MNO. Men AH er □ AD, DB,
thi DH er lig DB; altsaa er Gnomon MNO =
^ AD, DB. Lad KG, som er lig □ CD, være
lagt til dem begge, saa er Gnomon MNO +
KG = □ AD, DB + D CD. Men Gnomon
MNO + KG er hele Kvadratet CEFB, som er
n CB. Altsaa er □ AD, DB + Q CD =
DCB.
Altsaa: naar en ret Linie er delt i ligestore
og i uligestore Stykker, er det Rektangel, der
indesluttes af hele Liniens uligestore Stykker,
samt Kvadratet paa Stykket mellem Delings-
punkterne lig Kvadratet paa Halvdelen ; h. s. b.
6.
Naar en ret Linie er halveret^ og en anden
ret Linie er afsat i Forlængelse af den^ saa er
det Rektangel, der indesluttes af hele Linien
med dens Forlængelse og Forlængelsen^ samt
Kvadratet paa Halvdelen lig Kvadratet paa den
78
rette Linie ^ der er sammensat af Halvdelen og
Forlængelsen,
Lad nemlig en ret Linie være halveret i
Punktet C, og lad en ret Linie BD være afsat
i Forlængelse af den. Jeg siger da: | | AD, DB
+ DCB = DCD.*)
Lad der nemlig paa CD være tegnet et
Kvadrat CEFD, lad DE være dragen, lad BG
være trukken gennem Punkt B parallel med EC
eller DF, lad IL være trukken gennem Punkt
H parallel med AB eller EF, og lad endelig AI
være trukken gennem
A parallel med CK
eller DL.
Da nu AC er lig
CB, er AK = CH ; og
CH er lig HF ; AK er
altsaa ogsaa lig HF.
Lad CL være lagt til dem begge, saa er hele AL
lig Gnomon MNO. Men AL er □ AD, DB,
thi DL er lig DB, altsaa er Gnomon MNO =
I I AD, DB. Lad KG, som er lig □ BC, være
AD, DB + D CB
lagt til dem begge, saa er
= Gnomon MNO + KG. Men Gnomon MNO
•)
(^-^^)^+(T)^=(T+r.
79
4- KG er hele Kvadratet CEFD, som er □ CD.
Altsaa er □ AD, DB + D CB = Q CD.
Altsaa: naar en ret Linie er halveret, og
en anden ret Linie er afsat i Forlængelse af den,
saa er det Rektangel, der indesluttes af hele
Linien med dens Forlængelse og Forlængelsen,
samt Kvadratet paa Halvdelen lig Kvadratet
paa den rette Linie, der er sammensat af Halv-
delen og Forlængelsen; h. s. b.
7.
Naar en ret Linie er delt vilkaarligt^ er
Summen af Kvadraterne paa hele Linien og paa
det ene Stykke lig Summen af to Gange det
Rektangel, der indesluttes af hele Linien og
Stykkety og Kvadratet paa det andet Stykke.
Lad nemlig en ret Linie AB være delt vil-
kaarligt i Punktet C. Jeg siger da: □ AB +
DBC = 2nAB,BC + DCA.*)
Lad der nemlig paa AB være tegnet et
Kvadrat ADEB, og lad Figuren være tegnet.
Nu er AG = GE; lad saa CF være lagt til
dem begge, saa er hele AF lig hele CE. Altsaa
er AF + CE dobbelt saa stor som AF. Men
AF + CE er Gnomon IKL + CF ; altsaa er
*) (a + b)« + b« = 2 (a +b) '*. b-f- a
80
Gnomon IKL + CF dobbelt saa stor som AF.
Men det dobbelte af AF er 2
AB,BC, thi
BF er lig BC ; altsaa er Gnomon IKL + CF =
AB, BC. Lad DG, som er □ AC, være
lagt til dem begge, saa er Gnomon IKL + BG
+ GD = 2 1 |AB,BC +
□ AC. Men Gnomon IKL
+ BG + GD er hele Kva-
dratet ADEB + CF, hvilket
er □ AB 4- □ BC. Altsaa
er □ AB + □ BC =
AB,BC + QAC.
Altsaa : naar en ret Linie er delt vilkaarligt,
er Summen af Kvadraterne paa hele Linien og
paa det ene Stykke lig Summen, af to Gange
det Rektangel, der indesluttes af hele Linien og
Stykket, og Kvadratet paa det andet Stykke ;
h. s. b. *
8.
Naar en ret Lvtie er delt vilkaarligt^ er
fire Gange det Rektangel^ der indesluttes af hele
Linien og et af Stykkerne samt Kvadratet paa
det andet Stykke lig det Kvadrat^ der er tegnet
paa hele Linien og det først( Stykke ud i eet.
8i
Lad nemlig en ret Linie AB være delt vil-
kaarligt i Punktet C. Jeg siger da: 4 1 | AB, BC
+ □ AC er lig det Kvadrat, der er tegnet paa
AB, BC ud i eet. *)
Lad nemlig BD være afsat i Forlængelse
af AB, lad BD være afsat lig CB, lad der paa
AD være tegnet et Kvadrat AEFD, og lad
Figuren være
tegnet dobbelt. ^ ^ ^ ^
Da nu CB er
lig BD, men CB
er lig GI, ogBD
er lig IM, saaer
GI = IM. Af
samme Grund er
PQ = QO. Og
da BC er lig BD,
og GI er lig IM, saa er CI = ID, og GQ =
QM ; men CI er lig QM, thi de ere Udfyldnings-
figurer i Parallelogram CO; altsaa er ogsaa ID
= GQ. Altsaa ere de fire DI, CI, GQ og QM
ligestore. Altsaa ere de fire tilsammen det fir-
dobbelte af CI. Da endvidere CB er lig BD,
og BD er lig BI, det vil sige CG, ogCB er lig
GI, det vil sige GP, saa er CG = GP. Og da
•
<.--■*•*
y
I
/c
/
A
M
1
y
\
1
/
\
\
/
1
^
R
/
t
P
^''
/
^-7"
K
*) 4 (a + b) b -f a« = (a + 2^^*.
82
CG er lig GP, og PQ er lig QO, er AG = LP,
og PK = QF; men LP er lig PK, thi de ere
Udfyldningsfigurer i Parallelogram LK; altsaa
er ogsaa AG = QF. Altsaa ere de fire AG,
LP, PK ogQF ligestore. Altsaa er de fire til-
sammen det firdobbelte af AG. Nu blev det
ogsaa bevist, at de fire CI, ID, GQ og QM til-
sammen er det firdobbelte af CI. Altsaa ere de
otte, som tilsammen danne Gnomon RST, det
firdobbelte af AI. Og da AI er □ AB, BD,
thi BI er lig BD, saa er 4QAB, BD det fir-
dobbelte af AI ; men det blev ogsaa bevist, at
Gnomon RST er det firdobbelte af AI; altsaa
er 4 □ AB, BD = Gnomon RST. Lad NH,
som er lig □ AC, være lagt til dem begge, saa
er 4 □ AB, BD + n AC ^ Gnomon RST +
NH. Men Gnomon RST -f-> NH er hele Kvadra-
tet AEFD, som er □ AD ; altsaa er 4 □ AB, BD
+ □ AC = n AD. Men BD er lig BC. Altsaa
er 4 □ AB, BC + Q AC -:= □ AD, det vil sige
det Kvadrat, der er tegnet oaa AB og BC ud
i eet.
Altsaa : naar en ret Linie er delt vilkaarligt,
er fire Gange det Rektangel, der indesluttes af
hele Linien og et af Stykkerne, samt Kvadratet
oaa det andet Stykke lig det Kvadrat, der er
83
tegnet paa hele Linien og det første Stykke ud
i eet; h. s. b.
9-
Naar en ret Linie er delt i ligestore og i
uligestore Stykker y er Summen af Kvadraterne
paa hele Liniens uligestore Stykker dobbelt saa
stor som Summen af Kvadraterne paa Halvdelen
og paa Stykket mellem Delingspunkteme,
Lad nemlig en ret Linie AB være delt i
ligestore Stykker i C og i uligestore Stykker i
D. Jeg siger da: □ AD + □ DB = 2 □ AC
+ 2nCD.*)
Lad nemlig, CE være oprejst fra C vinkel-
ret paa AB, lad den være afsat lig baade AC
og CB, lad EA og EB være dragne, lad DF
være trukken gennem D parallel med EC, FG
gennem F parallel med AB, og lad AF være
dragen.
Da nu AC er lig CE, er ^ EAC = Z. AEC.
Og da Vinkelen ved C er ret, saa ere de andre
Vinkler EAC og AEC tilsammen lig een ret;
og de ere ligestore ; hver af Vinklerne CE A og
CAE er altsaa en halv ret. Af samme Grund
*)a»+b*=2(i±^r+.(i±^-by
84
er da ogsaa hver af Vinklerne CEB og EBC
en halv ret. Altsaaerhele ^AEB ret. Og da
^ GEF er en halv ret, og A. EGF er ret, thi den er
lig den indvendige og modstaaende Vinkel ECB,
saa er den tredje Vinkel EFG en halv ret;
altsaa er ^ GEF = ^ EFG; følgelig er Side
EG lig Side GF. Da endvidere Vinkelen ved B er
en halv ret, og -«^FDB er ret, thi den er lig
den indvendige og modstaaende Vinkel ECB,
saa er den tredje Vin-
kel BFD en halv ret.
Altsaa er Vinkelen
ved B = ^ DFB;
følgelig er Side FD
lig Side DB.
Da nu AC er lig CE,
er n AC = n CE; altsaa er □ AC + D CE =
2 n AC. Men D AE er lig Q AC + D CE,
thi ^ ACE er ret; altsaa er □ E A = 2 □ AC.
Da endvidere EG er lig GF, er □ EG = □ GF ;
altsaa er Q EG + D GF = 2 Q GF. Men
DEF er lig QEG + QGF; altsaa er Q EF
= 2 n GF. Nu er GF lig CD ; altsaa er □ EF
= 2n CD. Desuden er □ EA = 2\J,hfZ\
altsaa er □ AE + D EF = 2 □ AC + 2 □ CD.
Nu er n AF = n AE + D EF, thi Z. AEF
85
er ret; altsaa er QAF = 2nAC + 2GCD.
Men n AD + n DF er lig □ AF, thi Vinkelen
ved D er ret; altsaa er □ AD + □ DF =
2 □ AC + 2 n CD. Nu er DF lig DB; altsaa
er n AD + Q DB = 2 Q AC + 2 Q CD.
Altsaa: naar en ret Linie er delt i ligestore
og i uligestore Stykker, er Summen af Kvadra-
terne paa hele Liniens uligestore Stykker dobbelt
saa stor som Summen af Kvadraterne paa Halv-
delen og paa Stykket mellem Delingspunkterne ;
h. s. b.
10.
Naar en ret Linie er halveret^ og en anden
ret Linie er afsat i Forlængelse af den^ er
Summen af Kvadraterne paa hele Linien med
dens Forlængelse og paa Forlængelsen dobbelt
saa stor som. Summen af Kvadraterne paa Halv-
delen og paa den rette Linie, der er sammensat
af Halvdelen og Forlængelsen ud i eet.
Lad nemlig en ret Linie AB være halveret
i Punktet C, og lad en ret Linie BD være afsat
i Forlængelse af den. Jeg siger da : □ AD +
QDB = 2DAC + 2nCD.*)
*) (a 4- b)« + b« = 2 [^ +^ (y + ^
86
I.F.5
Lad nemlig CE være oprejst fra C vinkelret
paa AB, lad den være afsat lig baade CA og
CB, og lad EA og EB være dragne; lad EF
være trukken gennem E parallel med AD, og
lad FD være trukken gennem D parallel med CE.
t)a nu en ret Linie EF har skaaret de parallele
rette Linier EC og FD, saa er A. CEF + Z. EFD
lig to rette; altsaa er ^ FEB + A. EFD mindre
end to rette. Men rette Linier mødes, naar de
forlænges ud fra Vinkler,
som ere mindre end to
rette ; altsaa ville EB og
FD mødes, naar de for-
længes til den Side,
hvor B og D ligge. Lad
dem være forlængede
og mødes i G, og lad AG være dragen.
Da nu AC er lig CE, er Z. EAC = Z AEC ;
men Vinkelen ved C er ret; altsaa er Z EAC
og ^AEC hver en halv ret. Af samme Grund
er ogsaa ^CEB og ^EBC.hver en halv ret;
altsaa er Z AEB ret. Og da Z EBC er en
halv ret, saa er Z DBG ogsaa en halv ret.
Fremdeles er ZL BDG ret, thi den er lig
Z DCE, fordi de ere Vekselvinkler; altsaa er
den tredje Vinkel DGB en halv ret. Altsaa er
'^GB = Z DBG; følgelig er Side BD lig
87
Side GD. Da endvidere Z^ EGF er en halv
ret, og Vinkelen ved F er ret, thi den er lig
den modstaaende Vinkel ved C, saa er den
tredje Vinkel FEG en halv ret, altsaa er Z^ EGF
= ZL FEG; følgelig er Side GF lig Side EF.
Da nu D EC er lig Q CA, saa er Q EC +
G CA = 2 D CA. Men □ EA er lig □ EC
+ n CA; altsaa er □ EA = 2nCA. Da
endvidere FG er lig EF, er □ FG = □ FE
altsaa er Q GF + □ FE = 2 Q EF. Men
n EG er lig D GF + Q FE; altsaa er □ EG
= 2 □ EF. Nu er EF = CD ; altsaa er □ EG
= 2 □ CD. Men det blev ogsaa bevist, at
n EA er lig 2 □ AC. Altsaa er □ AE +
n EG = 2 n AC + 2 n CD. Men Q AG er
lig n AE + □ EG. Altsaa er □ AG ==
2 n AC + 2 n CD. Nu er n AG = n AD
+ □ DG; altsaa er □ AD + □ DG = 2 D AC
+ 2 n CD. Men DG er lig DB. Altsaa er
nAD + DDB = 2nAC + 2nCD.
Altsaa: naar en ret Linie er halveret, og
en anden ret Linie er afsat i Forlængelse af
den, er Summen af Kvadraterne paa hele Linien
med dens Forlængelse og paa Forlængelsen
dobbelt saa stor som Summen af Kvadraterne
paa Halvdelen og paa den rette Linie, der er
88
sammensat af Halvdelen og Forlængelsen ud i
eet; h. s. b.
II. 6
II.
At dele en given ret Linie saaledeSy at det
Rektangel, der indesluttes af hele Linien og det
ene af Stykkerne^ er lig Kvadratet paa det andet
Stykke.
Lad AB være den givne rette Linie. Man
skal da dele den saaledes, at det Rektangel, der
indesluttes af hele Linien og det ene af Styk-
kerne, er lig Kvadratet paa det andet Stykke.
Lad der nemlig paa AB være tegnet et
Kvadrat ABDC, lad AC være halveret i Punkt
E, lad BE være dragen, lad CA være fortsat
til F, lad EF være afsat lig BE, lad der paa AF
være tegnet et Kvadrat FH, og lad GH være
fortsat til L Jeg siger da,
at AB er delt i H saaledes, at
I I AB, BH er lig Q AH.
Thi da den rette Linie
AC er halveret i E, og FA
er afsat i Forlængelse af den,
saa er □ CF, FA + Q AE
= DEF. Nu erEF = EB;
altsaa er [""] CF, FA + Q AE
89
= □ EB. Men □ BA + Q AE er lig □ EB,
thi Vinkelen vedA er ret; altsaa er | | CF, FA
+ □ AE = □ BA + □ AE. Lad det
fælles Kvadrat paa AE være trukket fra, såa
er Resten □ CF, F A = Q AB. Men □ CF, FA
er FI, thi AF er lig FG, og □ AB er AD;
altsaa er FI = AD. Lad det fælles Rekt-
angel AI være trukket fra, saa er Resten
FH = HD. Men HD er QAB, BH, thi AB
er lig BD ; og FH er Q AH ; altsaa er □ AB, BH
= DHA.
Altsaa er den givne rette Linie AB delt i
H saaledes, at □ AB, BH er lig Q HA; h. s. g.
12.
/ en stumpvinklet Trekant er Kvadratet
paa den Side^ der Hgger overfor den stumpe
Vinkely større end Summen af Kvadraterne paa
de Sider, der indeslutte den stumpe Vinkel; og
Forskellen er to Gange det Rektangel, der inde-
sluttes af den af Siderne ved den stumpe Vinkel,
paa hvilken den lodrette fældes^ og det Stykke^
der af den lodrette afskæres udenfor ved den
stumpe Vinkel,
Lad ABC være en stumpvinklet Trekant,
hvor ^ BAC er stump, og lad der fra Punkt
2035 16
90
B være nedfældet BD lodret paa den forlængede
CA. Jeg siger da, at □ BC er større end □ CA
+ n AB, og at Forskellen er 2 □ CA, AD.
Thi da den rette Linie CD er delt vilkaar-
II. 4 ligt i Punkt A, saa er □ DC = Q CA + □ AD
+ 2 □ CA, AD. Lad □ DB være lagt til dem
begge, saa er Q CD + □ DB = □ CA +
QAD + nOB +2QCA,AD. MenCJCB
er lig D CD + n DB,
thi Vinkelen ved D er
er ret; og □ AB er
lig D AD + DDB;
altsaa er □ CB =
n CA + □ AB +
CA, AD. Følgelig er □ CB større end
□ CA + n AB, og Forskellen er 2 □ CA, AD.
Altsaa: i en stumpvinklet Trekant er Kva-
dratet paa den Side, der ligger overfor den
stumpe Vinkel, større end Summen af Kva-
draterne paa de Sider, der indeslutte den
stumpe Vinkel; og Forskellen er to Gange det
Rektangel, der indesluttes af den af Siderne ved
den stumpe Vinkel, paa hvilken den lodrette
fældes, og det Stykke, der af den lodrette af-
skæres udenfor ved den stumpe Vinkel; h. s. b.
91
13-
/ en spidsvinklet Trekant er Kvadratet paa
den Side, der ligger overfor den spidse Vinkel,
mindre end Summen af Kvadraterne paa de
Sider, der indeslutte den spidse Vinkel; og For-
skellen er to Gange det Rektangel^ der inde-
sluttes af den af Siderne ved den spidse Vinkel^
paa hvilken den lodrette fældes^ og det Stykke,
der af den lodrette afskæres udenfor ved dm
spidse VinkeL
Lad ABC være en spidsvinklet Trekant,
hvor Vinkelen ved B er spids, og lad AD være
nedfældet fra Punkt A lodret paa BC. Jeg siger
da, at n AC er mindre end D CB + Q BA,
og at Forskellen er 2 [~| CB, BD.
Thi da den rette Linie CB er delt vilkaar-
ligt i D, saa er □ CB +
CB, BD +
IL 7
n BD = 2
□ DC. Lad □ DA være
lagt til dem begge, saa er
nCB + DBD + QDA
= 2 □ CB, BD + n AD
+ □ DC. Men □ AB er
lig nBD + DDA, thi Vinkelen ved Der ret;
og □ AC er lig Q AD + D DC; altsaa er
92
n CB + □ BA = n AC + 2 □ CB, BD.
Følgelig er □ AC alene mindre end □ CB +
□ BA, og Forskellen er 2 □ CB, BD.
Altsaa: i en spidsvinklet Trekant er Kva-
dratet paa den Side, der ligger overfor den
spidse Vinkel, mindre end Summen af Kvadra-
terne paa de Sider, der indeslutte den spidse
Vinkel; og Forskellen er to Gange det Rekt-
angel, der indesluttes af den af Siderne ved den
spidse Vinkel, paa hvilken Højden fældes, og
det Stykke, der af den lodrette afskæres udenfor
ved den spidse Vinkel; h. s. b.
14.
At konstruere et Kvadrat lig en given ret-
linet Figur.
Lad A være den givne retlinede Figur.
Man skal da konstruere et Kvadrat lig den ret-
linede Figur A.
I. 45 Lad der nemlig være konstrueret et Rekt-
angel BD lig den retlinede Figur A. Hvis
BE saa er lig ED, vil det forlangte være
udført; thi saa er der konstrueret et Kvadrat
BD lig den retlinede Figur A. Men hvis
ikke, er en af Siderne BE og ED større end
93
den anden. LadBE være størst, lad den være
forlænget til F, lad EF være afsat lig ED, lad
BF være halveret i G, lad Halvcirkel BHF være
tegnet med G som Centrum og GB eller GF
som Radius, lad DE være forlænget til H, og
lad GH være dragen.
Da nu den rette Linie BF er delt i lige-
store Stykker i G og i uligestore Stykker i E,
saa er □ BE, EF + □ EG = Q GF. Men ii. 5
GF er lig GH ; altsaa er □ BE, EF + □ GE
= DGH. Og QHE + QEG er lig \J GH;
altsaa er □ BE, EF + □ GE = Q HE +
□ EG. Lad det fælles Kvadrat paa GE være
trukket fra, saa er Resten [^ BE, EF = □ EH.
Men QBE, EF er BD, thi EF er lig ED;
altsaa er BD = Q HE. Men BD er lig den
retlinede Figur A. Altsaa er den retlinede
94
Figur A ogsaa lig det Kvadrat, som kan tegnes
paa EH.
Altsaa er der konstrueret et Kvadrat lig
den givne retlinede Figur A, nemlig det der
kan tegnes paa EH; h. s. g.
^ Cl.
MAY 1 2 1938
, . <.•
Live Music
Archive
Librivox
Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland
Museum of Art
Internet
Arcade
Console Living Room
Open Library
American
Libraries
TV News
Understanding
9/11